Что такое детерминантные: Недопустимое название — Викисловарь

Содержание

Что такое детерминантные и индетерминантные растения и их отличия

Автор Мария Чурсина На чтение 5 мин. Просмотров 3.2k. Опубликовано

При выборе сорта или гибрида помидора наши покупатели задают себе вопрос «Какие томаты лучше посадить – детерминантные или индетерминантные?». На этот вопрос можно ответить просто: индетерминантные – это высокорослые томаты, которые лучше всего садить в закрытом грунте на подвязке, а детерминантные – это низкорослые помидоры, предназначенные для выращивания в поле.

Это основные различия этих видов, которые нужно знать каждому овощеводу. В этой статье мы подробно разберем чем же все-таки отличаются индетерминантные и детерминантные томаты.

Что такое детерминантные и индетерминантные растения

Детерминантные томаты Детерминантные или низкорослые томаты

Понятие «детерминантный» произошло от слова «determinans», что в переводе с латинского языка означает «определенный», а точнее ограниченный в росте.

Характерная особенность низкорослого помидора, в том, что рост центрального стебля кончается плодовой кистью с плодами. Детерминантные томаты – это растения, которые хорошо кустятся, поэтому их еще называют «кустовыми», а сокращённо – «деты».

Большинство низкорослых томатов имеют ранние сроки созревания, но бывают средние и поздние сорта. Период плодоношения детерминантных помидор длится около трех недель, так как они одновременно созревают и дружно отдают урожай. Поэтому в больших хозяйствах при уборке низкорослых томатов применяют комбайн.

Разновидности детерминантных томатов

Штамбовые ранние сорта томата. Низкорослые растения, с сильным основным стеблем и большим количеством боковых побегов. Их высота обычно в пределах 40-50 см. Среди них есть еще супердетерминантные (супердеты) сорта, которые формируются размером до 30 см. Они отлично подходят для выращивания в контейнерах и горшках на террасах, балконе и подоконнике.

Штамбовые томаты имеют короткий период плодоношения и декоративность.

Среднерослые и высокорослые детерминантные помидоры. От предыдущего данный вид отличается большим размером растений и сроком плодоношения. В данную группу также относятся полудетерминантные томаты. Высота кустов варьируется от 80 см до 100 см, также может достигать и 1,5 м. Полудеты рекомендуется выращивать с подвязкой на шпалере или опорах.

Индетерминантные томаты Индетерминантные или высокорослые томаты

Индетерминантный томат – это высокорослое растение, которое с латинского слова «indeterminans» переводится, как не определенный, имеется в виду по отношению к росту. В народе индетерминантные помидоры еще называют «индеты». Данные растения могут расти и приносить плоды при оптимальных условиях больше года. Размер куста в открытом грунте обычно не превышает 2 м, а в закрытом – от 3 м.

В Украине индетерминантные томаты высаживают в теплицы зимой или ранней весной, чтобы получать урожай с весны по осень. Как в открытом грунте, так и в теплицах индеты необходимо подвязывать, потому что они сильно вьются. Также важно убирать боковые побеги (пасынки).

Плодовые кисти на томатах формируются только на основном стебле между листьями и их никогда не будет в точке роста, как в детерминантных. Среди высокорослых помидоров есть множество сортов и гибридов, отличающихся по сроку вегетации, форме и цвету плодов.

Детерминантные и индетерминантные томаты — отличия Растения индетерминантного (слева) и детерминантного томата (справа)

Вегетационный период

В обеих группах томатов есть ранние, средние и позднеспелые сорта. Но фаворитами по раннеспелости являются низкорослые детерминантные и супердетерминантные виды.

Период плодоношения и урожайность

Детерминантные помидоры формируют много плодов и отдают их в короткий срок — примерно за 3-4 недели. Индетерминантные растения наращивают кисти потихоньку и долго созревают, но фаза плодоношения длится несколько месяцев.

Плоды

Вне зависимости от вида растения, на томатах растут плоды различного размера (от мелких черри до крупных биф-томатов), цвета (красные, розовые, желтые, полосатые и т.д.) и формы (круглые, сливовидные, перцевидные, с носиком и т.д.)

Рассада

У ростков детерминантных томатов подсемядольное колено будет короче, чем у индетерминантных. Также рассада детов выглядит более сильной и формирует мощную корневую систему. Саженцы индетов обычно более вытянутые и слабые. На эти отличия стоит обратить внимание при покупке саженцев.

Плодовые кисти

Еще рассаду детерминантных томатов можно различать по типу формированию кисти, ведь первая на них появляется после 4-5 листа, не выше 7 настоящего листа. Если рассада продается с цветом, на это можно обратить внимание. Последующие кисти на детах формируются через каждые 1-3 листа. За время вегетации на них может вырасти от 5 до 7 кистей.

На индетерминантных томатах первая кисть формируется выше 8-9 листа, а каждая последующая – через 3-4 листа. В хороших условиях выращивания растение может дать до 10 и более кистей (до 50 шт). Поэтому общий урожай тепличных помидор намного выше низкорослых.

Еще одной особенностью вьющихся помидор является то, что они легче формируют плоды при дефиците света, а детерминантные сорта в таких условиях сбрасывают цвет.

Междоузлия

У детерминантных помидор расстояние между узлами короткое (у штамбовых сортов среднее), а у индетерминантных — средне-длинное или длинное. На двух метрах длины индеты образовывают по 10-14 узлов. Это количество узлов детерминантный томат создает на высоте 0,8-1,2 метра.

Формирование растений

Высокорослые томаты формируют в 1 или 2 побега (основной + пасынок под первой кистью), убирая все боковые пасынки. Они требуют обязательной подвязки растений. Низкорослые помидоры выращивают без пасынкования. Также деты не требуют подвязки и окучивания.

Место и способ выращивания

Индетерминантные томаты выращивают в теплицах на подвязке рассадным способом. А низкорослые помидоры предназначены для посева либо высадки рассадой в открытом грунте.

Индетерминантные томаты в теплице и детерминантные — в поле

Теперь Вы понимаете, чем отличаются детерминнатные и индетерминантные томаты. И зная их особенности не сделаете ошибку при выборе сорта или гибрида для выращивания.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Что такое детерминантные томаты и кому они подойдут? / ЖЖ инфо

Помидоры — излюбленные овощи многих. Они представлены в огромном ассортименте, и каждый сорт имеет свои особенности. Многие начинающие садоводы сталкиваются с таким понятием, как томат детерминантный. Если не разбираться в подобных вопросах, то можно получить урожай с сильным сгущением или полупустые засеянные участки. Подобные сорта имеют ограниченный рост: до 3-5 цветочных кистей. Высота не превышает 150 см. Это идеальный вариант для теплиц или даже балконов. 

Отличительные черты детерминантных сортов

Подобные томаты рано созревают и дают высокую урожайность, поэтому их так любят садоводы. При этом они требуют особенного ухода, например, подвязку стеблей. Среди ключевых преимуществ выделяют такие:

  • быстро спеют; 
  • вначале дают больше урожая; 
  • зреют в одно время; 
  • подходят для выращивания в местах с холодным климатом;
  • требуют меньше времени на уход. 

 

Некоторые сорта и вовсе не требуют подвязки, однако опытные садоводы все же рекомендуют это делать, чтобы максимально увеличить урожай. 

Особенности выращивания детерминантных томатов

Как и любые другие типы, детерминантные растения любят жаркую погоду и при таких условиях они редко заболевают, великолепно растут. Для полива нужно использовать исключительно теплую воду. Семена необходимо сеять в феврале-марте, а грядки пересаживать в период с апреля по май. Если хотите получить большой урожай, то уделите должное внимание качеству корневой системы. 

 

Для формирования кустиков можно использовать разные схемы, но важно регулярно их подкармливать удобрениями, поливать и убирать созревшие плоды.

Если вас заинтересовал подобный вид томатов, вы можете приобрести семена в интернет-магазине «Дом и сад». Весь посадочный материал исключительно премиум-качества, поэтому вы можете рассчитывать на рекордную всхожесть в 98%. 

 

Попробуйте на своих грядках или даже в контейнере получить первый урожай спелых, вкуснейших детерминантных томатов — заказывайте семена растений и приступайте к своему первому посеву.

Что такое детерминантный и индетерминантный томат? Разбераемся в типах роста | Твоя усадьба

На пачках семян всегда есть такие непонятные слова как «детерминантный сорт» или «индетерминантный сорт». Это ни что иное как типы роста того или иного сорта. Эта информация помогает выбрать подходящие условия для выращивания томатов. Давайте разберёмся в классификации сортов томатов по типу роста.

Супердетерминантные томаты

Эти растения самые низкорослые из всех томатов. Их невысокий рост и ранее плодоношение обусловлено низким залеганием первого цветоноса. Он обычно находится над 4 – 5 листом. Растению нужно значительно меньше времени, чтоб выпустить это количество листков. Супердетерминантные сорта считаются устойчивыми ко всем неблагоприятны природным условиям. Их можно выращивать в открытом грунте даже в средней полосе. Просто растение успевает отплодоносить к наступлению неблагоприятных условий. В подвязке томаты не нуждаются в подвязке и пасынковании.

Томат супердетерминантный сорта БониМ

Томат супердетерминантный сорта БониМ

Есть у этого типа томатов и свои недостатки. Плоды их небольшого размера, в среднем до 100 г. Вкусовые качества не выразительные, а лёжкость низкая. Не рекомендуется использовать такие плоды для цельноплодного консервирования, так как они теряют свою форму и растрескиваются. Период плодоношения сортов с таким типом роста довольно короткий. Не смотря на эти недостатки выращивание супердетерминантных сортов оправдано в условиях холодного и непродолжительного лета.

Детерминантные томаты

Как и в предыдущей группе, эти томаты невысокого роста. Первая завязь закладывается чуть выше – над 6 – 7 листом. Растения среднеранние и подходят для выращивания в открытом грунте или в плёночном укрытии. Рост растения ограничен, поэтому имеет компактный куст невысокого роста. Плоды более крупные (120 – 150 г), с более выразительной вкусовой палитрой. Томаты, как и предыдущие не предназначены для долгого хранения.

Томат детерминантный сорта Русский вкусный

Томат детерминантный сорта Русский вкусный

Стоит отметить, что урожай детерминантные сорта при правильном уходе дают достаточно обильный. Период плодоношения более растянут.

Полудетерминанатный томаты

Эти сорта — что-то среднее между детерминантными и идетерминанатными томатами. Они имеют более высокое залегание первого цветоноса (8 – 9 лист), но и ограничиваются в росте после 8 – 10 соцветий. Между соцветиями обязательно есть 2 – 3 листочка (чего не наблюдалось у предыдущих групп).

Томат полудетерминантный сорта Благовест

Томат полудетерминантный сорта Благовест

Эта группа томатов является среднеспелой. С кустов можно получить плоды весом 140 – 160 г. Стоит отметить их отличные вкусовые качества и универсальность. Урожай можно употреблять как в свежем виде, так и консервировать, готовить соки и соусы.

Индетерминантные томаты

К этой группе относятся как среднеспелые, так и позднеспелые сорта. Они рекомендованы для тепличного выращивания, но допускается некоторые из них высаживать в открытый грунт. Первый цветонос закладывается после 9 листа, а после через каждые 3 – 4 листа. Рост растений не ограничен, и они могут достигать в высоту 2,5 м, поэтому им обязательно нужно опоры и подвязке. Формируют куст в несколько ветвей, чтоб не перегружать его.

Томат индетерминантный сорта Чио-Чио-Сан

Томат индетерминантный сорта Чио-Чио-Сан

Эта группа очень разнообразна и включает в себя как суперкрупные томаты, так и большинство сортов черри.

Надеюсь теперь вы точно не запутаетесь в этих группах и выберете подходящий для себя сорт. Спасибо за внимание и подписывайтесь на канал. Если вам понравилась статья, то ставьте лайки и делитесь ею в социальных сетях.

Персональный сайт — Что такое детерминантные и индетерминантные сорта томатов?

Содержание страницы: 1.Что такое детерминантные сорта, полудетерминантные и индетерминантные сорта? 
Индетерминантные сорта   томатов — это сорта с неограниченным ростом стебля. Именно с этих томатов с одного метра площади можно получить очень высокий урожай. Среди этих сортов есть сорта ранних, средних и поздних сроков созревания, различной окраски. формы и массой плодов . Для таких  сортов томатов целесообразно сооружать высокие устойчивые шпалеры. Индеты необходимо пасынковать и формировать в 1-2 стебля, обеспечивать им регулярный уход на протяжении всего периода вегетации.   
Индетерминантные сорта : вверху крупноплодный сорт Чудо Земли, внизу —  сорт с гроздевым строением соцветия — Французский гроздевой.  
Детерминантный сорт Золушка 
Детерминантный сорт Каротинка 
 
Детерминантный сорт Клондайк
 
Ребристые полудетерминантные сорта томатов очень урожайны. 
 
Полудетерминантные сорта томатов, у которых высота превышает 0, 5м, называют ещё коловыми сортами. То есть при возделывании этих сортов устанавливают прочные колья рядом с растением, и к колу привязывают стебли томата. В таком виде растение может удерживать побеги в вертикальном положении, даже нагруженое плодами. Для подвязки растений  используют прочные эластичные материалы,  не травмирующие  стебель , плоды и листья растения в ветренную погоду . Для сортов, которые превышают  высоту  1 м , всё же , желательно устанавливать шпалеры, как для индетерминантных сортов.   

 

Уважаемые друзья, дачники и огородники! В помощь новичкам, на этой странице я объясню значение терминов, которые часто встречаются в описании сортов и агротехнике томатов.  
                         
1.Что такое детерминантные сорта?                                                     «Детерминантный сорт »  томата означает , что растение будет низкорослым (20-60 см) или  среднерослым(60-120 см). При достижении указанной высоты, главный стебель и пасынки этих сортов ограничивают свой рост и оканчиваются соцветием. Соцветий может быть от 2-х до 8. Соцветия бывают в виде кистей или метельчатые, расположены соцветия подряд или через пару листьев. Закладывают первые  цветочные кисти детерминантные сорта, как правило над 6-8 листом. Среди детерминантных томатов очень много ранних сортов. Но есть и среднеранние, и средние.  Детерминантные томаты предназначены для выращивания в невысоких парничках или в открытом грунте.    
 
Например: детерминантный сорт Золотая тёща.
Существует, также, множество сортов , которые относятся к полудетерминантному виду. Это большая группа сортов, в которые входят  любимые всеми круплоплодные  биф томаты, ребристые и различные экзотические сорта с разноцветными плодами отличных вкусовых качеств. Такие сорта достигают в своём росте от 0, 6 м до 1, 5 м и прекращают своё развитие после того, как сформируют 10 -12 соцветий. Плодоносят такие сорта равномерно в течение всего периода. В этих сортах иногда трудно выявить центральный стебель, так  как ствол, после формирования нескольких пар листьев.  расходится на несколько равноценных побегов(от 2 до 6). Такие сорта не пасынкуются , либо пасынкуются очень умеренно, чтоб не лишиться части урожая. 

что это такое и что лучше?

На упаковках семян томатов обычно среди других характеристик обозначено тип: детерминантный или индетерминантный. Что обозначают эти слова и имеет ли значение тип томата для успешного выращивания овощей?

Содержание:

Понятие детерминантных и индетерминантных томатов

Кратко различие между двумя типами растений можно сформулировать так: детерминантные – это низкие сорта, индетерминантные – высокие. Но высота – это не единственное отличие. Растения этих типов отличаются формированием стебля. Детерминантные, что в переводе с латинского означает ограниченные, растут до того, пока на стебле формируется от 3 до 5 цветочных кистей. Причем последняя из них образуется на верхушке растения. Дальше рост в высоту прекращается. Никакие поливы, удобрения и подвязывания не заставят вырасти его выше и сформировать еще несколько кистей.

Иногда огородникам удается обмануть растение и изменить его высоту, направив вверх один из пасынков. Ведь их высоту ничто не ограничивает. Высота таких томатов на огороде около 50 см, а в теплице они могут вырастать до 1 м. Количество листов, расположенных между двумя гроздьями, меньше трех. При формировании соцветия пасынок идет вверх, а кисть отходит в сторону. На месте их соединения образуется утолщение.

Индетерминантные, не ограниченные в росте, могут расти и формировать цветочные кисти на значительной высоте.

Прекращают этот процесс только с наступлением холодов. Стебель прямой, без узлов. Урожайность индетерминантных сортов значительно выше, чем детерминантных. Но в таком случае возникает вопрос: зачем же выращивать детерминантные, не стоит ли забыть о них и перейти на выращивание высокорослых?

Детерминантные сорта

Выращивать детерминантные сорта значительно проще. Они компактные, могут расти без подвязывания. Многие из них не нужно пасынковать (удалять боковые побеги). Обычно это ранние сорта. Их плоды созревают до массового распространения такого опасного заболевания томатов, как фитофтора. Поэтому требуют меньше обработок от болезней химическими средствами.

Поздние, гибриды, наоборот, требуют более частых обработок от болезней. Это связано с высокой нагрузкой на невысокий ствол. Не требуют пленочного укрытия. Такие сорта лучше всего подойдут огородникам, у которых есть возможность выделить большую площадь огорода под томаты, но нет лишнего времени на заботу о растениях.

Сами детерминантные сорта делятся на четыре группы:

  1. Детерминантные, пасынки на которых желательно удалять. Прекращает расти после формирования 5-6 кистей.
  2. Супердетерминантные растения скороспелых сортов не требуют пасынкования. Кисти формируются через 1-2 листа. Перестает расти после 5 кистей.
  3. Супер-супердетерминантные образуют кисти без промежуточных листьев. Прекращают расти после формирования 4 кистей. Другие названия: суперкарлики и сверх-суперкарлики.
  4. Полудетерминантные вырастают до полтора метра. Выращивают в один стебель, удаляя пасынки. Нуждаются в подвязывании. Кисти формируются через 2, иногда через 3 листа. Прекращают расти после формирования 10-12 кистей.

К детерминантным относятся сорта:

  • Дубок с плодами весом около 100 г, вкус кисло-сладкий. Мякоть мясистая. Плоды предназначены для салатов и консервирования.
  • Аляска – предназначен для выращивания в открытом грунте. Плоды небольшие, около 80 г, салатного предназначения.
  • Султан отличается довольно большими вкусными плодами, вес которых достигает 200 г. Используется в сыром виде и для переработки. Пригоден для транспортировки.

Супердетерминантные:

  • Агата с плодами весом около 100 г универсального применения. Выращивают в теплицах и открытом грунте.
  • Невский – очень ранний сорт (период вегетации до 95 дней). Плоды небольшие, весом около 50 г светло-красного цвета.

Полудетерминантные:

  • Магнус – урожайный, устойчивый к болезням гибрид с вкусными, дружно созревающими плодами.
  • Чиган с ребристыми красными плодами весом до 280 г.

Индетерминантные сорта

Если площадь под томатами небольшая, получить высокий урожай можно, выращивая индетерминантные сорта. Но уход за ними требует больше времени и сил. Нужно устанавливать опоры, на которые подвязывать стебель томата. Периодически подвязывают отросшую верхушку стебля. Пасынки удаляют.

Помидоры вырастают до 1,5 м на огороде и до 5 м в зимних теплицах. Там они растут и плодоносят около года, а количество образуемых кистей достигает 50 штук.

Индетерминантные сорта:

  • Де Барао – очень популярная группа сортов, плоды которых могут быть красными, розовыми, черными, крупными или небольшими.
  • Нада – очень ранний сорт. Плоды немного приплюснутые, их вес достигает 300 г.
  • Стар Голд со сладкими плодами желтого цвета, вес которых всего 30 г.
  • Чероки, кисть которого состоит из 7-9 одномерных плодов ярко-красного цвета.

Как определить тип томата

Хорошо, если выращивают свою рассаду, и тип томата известен. Но иногда эта информация неизвестна. А ведь ее нужно знать еще до высаживания рассады в грунт. Это можно сделать на каждом из этапов развития томатов.

Сеянцы детерминантных сортов имеют семядольное колено длиной не более 3 см. Для индетерминантных это расстояние составляет до 5 см. Исключением может служить выращивание в плохо освещенном помещении. В таком случае нужно сравнивать несколько сортов. Тот, у которого семядольное колено длиннее, индетерминантный.

Определить тип томатов можно по внешнему виду рассады. У детерминантных сортов первая цветочная кисть сформирована не выше седьмого настоящего листка. У индетерминантных – выше девятого.

Определить тип томата, посаженного в грунт, сложнее из-за того, что часто при посадке значительная часть растения оказывается под землей.

И чаще всего это происходит с индетерминантными сортами. Если, высаживая, погружали томат до семядольных листочков, тип определить проще. У растений детерминантных между кистями расположен один или два листка, у индетерминантных – три. У детерминантных есть побеги, которые прекратили расти после того, как сформировались завязи, у индетерминантных их не будет. При осмотре нужно обращать внимание, не прищипнутый ли это побег. Иногда он бывает похожим на тот, который прекратил расти.

Не всегда высота томата говорит о его типе формирования. Бывают детерминантные сорта, которые вырастают значительно выше своих собратьев. Их выводят для выращивания в теплице. Есть и низкие детерминантные сорта. Примером может служить гибрид «Волгоградский 5/95», имеющий прочный стебель и не нуждающийся в подвязывании.

Какой тип лучше

Нельзя однозначно сказать, какой из типов томатов лучше. Отдельные из них больше подходят для выращивания в теплице, другие – в открытом грунте. Детерминантные требуют больше подкормок, чтобы помочь растению справиться с густо расположенными кистями. Часто приходится много времени уделять удалению пасынков.

Урожайность выше у индетерминантных сортов. Детерминантные созревают дружнее, ведь кисти формируются через пару листов, а процесс заканчивается скорее.

Больше информации можно узнать из видео:

Индетерминантные и детерминантные томаты — что это такое, в чем их разница?

Придя в конце зимы в магазин, торгующий товарами для ведения приусадебного хозяйства, за семенами томатов, многие дачники теряются от многообразия выбора. И это неудивительно, ведь сейчас в продаже имеется огромное количество всевозможных семян самых разнообразных сортов этой овощной культуры.

Однако, большинство начинающих садоводов зачастую делают одну и ту же ошибку – поверхностно просматривают всю информацию о сорте помидор, содержащую его основные характеристики, польстившись на надписи рекламного характера, такие как: «Высокая урожайность», «Суперскороспелые», «Гигант» и т. д. Особенно при покупке не любят вдумываться в смысл неизвестных слов, поэтому тот факт, что существуют томаты детерминантные и индетерминантные, для многих является большим открытием.

В данной статье пойдет речь о том, как отличить между собой детерминантный и индетерминантный сорт томатов, каковы их основные особенности, и какие условия культивации будут наиболее комфортны для каждого из них.

Что означают понятия «детерминантный» и «индетерминантный»?

Само слово «детерминантный» имеет латинское происхождение — это значит «ограниченность», «предельность». Тогда как термин «индетерминантный» имеет прямо противоположное значение, подразумевая нечто, не ограниченное никакими пределами.

Поэтому можно сделать вывод, что в первом случае сорт помидоров розовый будет иметь ограниченный рост стебля в длину (что значит детерминантный сорт томатов), а во втором томаты будут тянуться вверх настолько, насколько это возможно.

Ограничение детерминантных сортов происходит путем образования верхушки будущего соцветия, в результате чего рост кустика прекращается. Посмотрите статью про сорта черных томатов.

Как еще можно различить эти сортовые виды томатов?

Данные сорта различны практически с «рождения», так как после того, как росток проклюнется из семечка, высота «семядольного коленца» индетерминантного сорта томатов составит около 4 -5 см, а у его детерминантного собрата коленце вытянется всего лишь на 1-2 см.

Однако, если в помещении недостаточно света, этот метод определения сорта может быть ошибочным, так как абсолютно все ростки будут тянуться за недостающими лучами солнца.

А теперь необходимо рассмотреть поподробнее характеристики каждой разновидности сортов томатов.

Индетерминантные сорта помидоров

Итак, индетерминантные сорта томатов – что это, что означает столь непривычное для слуха российского человека определение? Оказывается, все проще, чем казалось на первый взгляд. Так называемые индетерминантные сорта и гибриды томатов –это те культуры, которые могут расти в длину практически бесконечно и достигать в высоту более 2 метров.

Основной особенностью этих сортов томатов является их высокий рост и необходимость постоянного удаления пасынков, чтобы куст был единственным и вытягивался в длину. Поэтому для культивации в южных районах страны данные сорта подходят идеально, их можно выращивать на открытом дачном участке, подвязывая на длинные жерди.

В остальных случаях индетерминантные сорта являются сугубо тепличными, причем выращивание и плодоношение в тепле будет лучше, и возможно даже круглый год.

В чем основные плюсы индетерминантных культур? Таковых отнюдь не мало!

  • В силу внушительной высоты каждого куста соцветия и грозди образуются на одном – единственном стебле, что делает возможным достижение высокой урожайности при небольшом объеме посадочных площадей.
  • Такие сорта практически не воспринимают вирусы и болезни томатов. Это происходит за счет постоянного удаления пасынков и одинакового доступа света и воздуха ко всем частям стебля растения, его листьев и плодов одновременно.
  • «Индетерминанты» гораздо дольше плодоносят, чем их «ограниченные» собратья. Поэтому с середины лета и до глубокой осени урожай свежих томатов дачнику обеспечен!
  • Высокий рост стебля значительно облегчает сбор урожая, да и весь уход за растением в принципе.

А минусы этих сортов заключаются в том, что им необходимо подвязывание и пасынкование, а также происходит несколько затяжное вызревание плодов.

Детерминантные сорта помидоров

Итак, с «неограниченно рослыми» томатами все предельно понятно. А что такое детерминантный сорт томатов, почему и он не менее любим садоводами? Для начала необходимо определить, детерминантные томаты что это такое, и какими основными особенностями они обладают?

Как говорилось выше, это те сорта, рост которых быстро ограничивается, потому что наверху кустика вырастает будущее соцветие.

Главная особенность таких сортов – пасынковать их не следует, ведь из каждого пасынка появляется новое соцветие, где зарождаются будущие помидоры.

Итак, что означает детерминантный сорт томатов, предельно ясно. Теперь нужно установить основные их преимущества.

  1. Это более раннее вызревание плодов по сравнению с «долговязыми» родственниками, так как формирование детерминантных томатов (имеются в виду первые соцветия) происходит после появления шестого листа. У «индетерминантов» соцветия формируются после того, как вырастет 8-9 лист. За это «детерминантов» и обожают садоводы.
  2. Подвязывать такие сорта не требуется, ну в крайнем случае можно это сделать единожды.
  3. Эти сорта выглядят более аккуратно и приземисто, поэтому необходимости продираться сквозь тепличные заросли у садовода, скорее всего, не возникнет.
  4. Таких культур существует немалое количество по причине высокой популярности у садоводов.
  5. Плоды детерминантных томатов зреют единовременно, что дает возможность изготовления большого количества зимних заготовок.
  6. Эти лучшие сорта оптимальны для холодных районов нашей страны, так как отлично будут плодоносить и в теплице, и успеют дать урожай при культивации на открытой местности. Поэтому выбирать детерминантные сорта томатов для открытого грунта крупноплодные наиболее предпочтительно.

А минусов у детерминантных сортов также немного, и заключаются они в следующем: размер плодов зачастую сильно варьируется, удобрений при выращивании нужно затрачивать больше, а кроме того, урожая такие сорта дают все – таки меньше, чем их высокорослые соплеменники.

К числу детерминантных относятся и так называемые «штамбовые» помидоры, их часто выращивают в промышленных целях. Такие сорта не нужно ни подвязывать, ни пасынковать, однако они исправно плодоносят в течение всего плодородного периода.

А если необходим «компромисс» при выборе сорта, то как нельзя лучше подойдут полудетерминантные сорта томатов для теплицы ранние, имеющие черты как «детерминантов», так и «индетерминантов». Основной изюминкой таких культур является то, что они тянутся вверх на неограниченную высоту, а потом расти резко перестают, причем тот факт, от чего это может зависеть, предугадать не всегда возможно.

Лучше всего подходят полудетерминантные сорта томатов для теплиц, их подвязывать и пасынковать также необходимо, но стебля лучше оставить два, а не один, как у «индетерминантов». Также читайте статью: Какие низкорослые томаты, не требующие пасынкования, следует выбрать?

Индетерминантные и детерминантные сорта томатов: отличие, что это значит?

Добавить в избранное

Выбор помидоров для посадки на дачном участке, в теплице или на балконе — задача, справиться с которой непросто, поскольку ассортимент семян разных сортов и гибридов, предлагаемый сегодня, заставит схватиться за голову даже опытного огородника. Кроме того, можно столкнуться со специальными терминами, описывающими характеристики сортов, например, «детерминантные» и «индетерминантные», о значении которых трудно догадаться самостоятельно. Объяснение этих понятий вы найдёте в статье ниже.

ПоказатьСкрыть

Что такое детерминантные и индетерминантные сорта помидор?

Говоря кратко, термины указывают на то, насколько высоко может вырасти куст помидора, и какие сортовые характеристики в связи с этим преобладают. Обладая этими знаниями, легче организовать грамотный уход за культурой.

Детерминантные

Сорта, кусты которых вырастают до определённой высоты, и пока на растении не образуются плодовые кисти, после чего останавливаются в росте. После того как появилась завязь 3–5 кистей, на макушке куста появляются бутоны. Цветочные кисти формируются, начиная с 5–7-го листа, с интервалом в 2–3 листа. Всего на детерминантном кусте может быть 4–5 соцветий, при максимальной его высоте 110 см. Цветочные кисти со временем преобразуются в цветы, а затем трансформируются в плоды. Развитие растения в дальнейшем происходит из сформированного в пазухе листа под кистью на верхушке куста томатов, сильного пасынка.

Как правило, такие помидоры подразделяют на группы:

  1. Низкорослые, или штамбовые — скороспелые томаты, урожай которых можно собрать через 80–90 дней. Рассаду высаживают через 40–45 суток.
  2. Среднерослые — начинают плодоносить чуть позже, созревание помидоров происходит спустя 100–110 дней с момента посадки, но урожайность этих томатов выше. Рассаду выдерживают 50–55 суток.

Индетерминантные

Сорта, кусты которых не имеют лимита в росте и могут достигать 2–3 м в высоту, плестись по крыше теплицы, завязывая до 50 кистей.

Цветы начинают появляться за 9–12 листом, а затем с интервалом в 3 листа. Кусты высокорослые, так что их приходится ограничивать в росте механическим путём, удаляя верхушку.

Важно! Прищипывание необходимо для того, чтобы куст мог направить свои жизненные силы на развитие плодов, увеличение их массы.

Рассаду индетерминантных сортов высаживают в возрасте 60–65 дней, и начало сбора урожая приходится на 105–130 день.

Характеристики таких томатов предполагают их выращивание в открытом грунте в южных, солнечных регионах, поскольку растения любят солнечные лучи и тёплый воздух.

Преимущества и недостатки каждого из этих видов

  • Преимуществами детерминантных сортов можно с уверенностью назвать:
  • скороспелость урожая;
  • хорошее плодоношение;
  • дружное созревание томатов;
  • отсутствует необходимость подвязывать кусты;
  • комфорт в процессе ухода за растением, поскольку оно имеет небольшую высоту;
  • могут выращиваться в любом регионе, в открытом грунте и в теплицах.
  • К недостаткам детерминантных сортов относят:
  • урожайность имеет определённые рамки, поскольку куст ограничен в росте;
  • томатам требуется обильное внесение минеральных подкормок;
  • низкий иммунитет к типичным заболеваниям томатов;
  • более требовательны в уходе из-за концентрации плодов и большой нагрузки на растение;
  • различный размер плодов.
  • Среди преимуществ индетерминантных сортов выделяют:
  • высокую урожайность с эффективным использованием площадей;
  • крепкий иммунитет;
  • кусты приносят урожай длительное время;
  • высокий рост, что обеспечивает удобство сбора урожая, нет необходимости сильно нагибаться;
  • выращивание и плодоношение может происходить практически круглый год в тепличных условиях, а в открытом грунте — с середины лета до середины осени;
  • практически все плоды получают одинаковый доступ света и хорошо вентилируются, благодаря отсутствию боковых пасынков;
  • не требуют соблюдения температурного режима, хорошо переносят суточные колебания.
  • Недостатками индетерминантных томатов называют:
  • более позднее созревание плодов, поскольку формирование соцветий начинается только после того, как на стебле появятся 8–9 листов;
  • необходимость укрепления стебля на высокие опоры;
  • предпочтительны южные регионы выращивания;
  • обязательна процедура пасынкования, которую проводят каждую декаду для формирования куста в один стебель;
  • необходимость регулярной подвязки.

Разница между детерминантными и индетерминантными томатами

Различие подходов к выращиванию низкорослых и высокорослых сортов обусловлено их особенностями, учитывая которые, создают необходимые для культуры условия с целью получения качественного урожая.

Выбирать сорт необходимо с учётом климатических условий местности, где планируется выращивать помидоры. Далее следует учитывать потребность: получить ранний, обильный и одновременно поспевший урожай или возможность снимать плоды на протяжении длительного срока в большем объёме.

Важно! На индетерминантных кустах необходимо удалять листья над плодами, в особенности, если томаты выращиваются в теплице. Это позволит им скорее созреть и улучшит вкусовые характеристики.

Чем отличаются семена?

Семена детерминантных и индетерминантных сортов высаживают в разное время:

  • штамбовые — во второй половине марта;
  • среднерослые — с середины марта;
  • высокорослые — в начале этого же месяца.
Проводить посев раньше указанных дат не стоит, это может повлиять на жизненные силы растения, а запоздалая посадка не позволит растению реализовать свою потенциальную энергию.

Отличия рассады

Если посев семян произведен вовремя, посадка рассады в грунт также имеет отличия:

  • детерминантные сорта высаживают на 55–60 день с момента посева;
  • индетерминантные — спустя 65–75 дней.
Кроме того, рассада низкорослых сортов формирует завязь уже после 5 листа, а далее с интервалом в 2–3 листка, а высокорослых только после 9-й листовой пластины, с промежутками между завязями более 3 листов. К тому же, на четвёртые сутки после всходов рассады, индетерминантные сорта демонстрируют семядольное колено.

Знаете ли вы? В 16 столетии, когда помидоры только завезли в Европу, кусты томатов использовали исключительно в декоративных целях, поскольку плоды было принято считать несъедобными и даже ядовитыми.

Взрослые кусты — отличия

Внешний вид взрослых растений легко выдаёт их принадлежность к детерминантным и индетерминантным сортам:

  1. Рост. Низкорослый — максимальная высота 1,1 м и высокорослый — 2–3 м.
  2. Стебель. Низкие кусты имеют 2–3 стебля, высокие — один стебель без боковых пасынков.
  3. Количество и частота завязей. Более плотное количество цветения — на низкорослых кустах.

Детерминантные сорта

Названия томатов, относящихся к этому типу, следующие:

  1. Аврора — скороспелый, созревание 75–85 дней. Высота куста 60–70 см, простое соцветие по 5–6 плодов. Первые цветы появляются над 6–7 листом, а далее с интервалом в 1–2 листа. Урожайность 12–15 кг/м², плоды 90–120 г. Дружность созревания, в 2 сбора снимают 60% плодов.
  2. Ажур — раннего созревания гибрид не требующий особого ухода. Плоды поспевают спустя 105–110 суток. Растения высотой до 80 см, частично требует пасынкования, оставляют 3–4 стебля. Урожайность 6,1 кг/м², вес плодов — 200–260 г.
  3. Акварель — среднеспелый, созревание 110–120 суток. Максимальная высота куста — 50 см. Плоды имеют форму сливки, весом 40–55 г. Урожайность томата Акварель около 1,5 кг плодов с 1 растения (при соблюдении агротехники).
  4. Экватор — среднеранний, созревание 101–110 суток. Не требует пасынкования и подвязки, растение вырастает до 1 м высотой. Плоды круглые, мясистые, массой 150–180 г. . Урожайность на открытой почве при надлежащем уходе до 11,5 килограмм с одного квадратного метра.

Читайте больше о детерминантных сортах томатов:

Индетерминантные сорта

Среди индетерминантных выделяют:

  1. Бабушкин подарок — среднепоздний сорт, созревание 120–125 дней. Кусты формируют в один стебель высотой до 1,8 м. Плоды массой 180–220 г, урожайность с куста — 4,5–5 кг, при посадке 4 кустов на 1 м².
  2. Адамово яблоко — среднеспелый, высокорослый, достигает 1,8 м. Требует подвязки и пасынкования. Плоды круглые, массой 120–200 г, урожайность — 18–20 кг/м².
  3. Мальва — раннеспелый гибрид, который вырастает высотой 1,9–2,3 м. Формируют куст в 1 или 2 стебля. Соцветие имеет 5–6 плодов, масса которых 160–190 г. Урожайность составляет 19–22 кг/м².
  4. Австралиец — высокорослый, среднепоздний сорт. Высота превышает 2 м. Томат может выращиваться в 1 или 2 стебля. Плоды очень крупные, массой 450–500 г, могут достигать 1 кг. С 1 растения собирают 5 кг томатов.
  5. Сибиряк — позднеспелый, высокорослый гибрид, сроки созревания 130–140 дней. Куст в один стебель достигает высоты 1,8 м. Первое соцветие формируется над 12-м листом, далее с интервалом в 3–4 листовых пластины. Урожайность — 4,5–5 кг с растения при массе плодов 300–400 г.

Рекомендуем узнать подробнее и о других сортах индетерминантных томатов:

Как определить тип томата?

Для определения типа помидора, необходимо:

  • на стадии покупки семян обратить внимание на характеристики и описание сорта;
  • внимательно осмотреть куст томатов, обращая внимание на расположение завязей: после какого по счёту листа от корневища находится первая, и с каким интервалом они следуют далее;
  • посмотреть на рост растения и на кучность плодов на нём;
  • обратить внимание на сроки созревания помидоров.

Знаете ли вы? Рекордсменом среди томатных плодов стал помидор, масса которого составила 2,9 кг. Вырастили гиганта в США, штат Висконсин.

Какие типы подходят для выращивания на дачном участке?

Желая определиться с сортом томатов для высаживания на дачном участке, необходимо понимать, какие цели преследуются. Если томаты будут использоваться для засолки, целесообразно высаживать детерминантные кусты, которые принесут большой объём урожая с практически одновременным, дружным созреванием. Если цель выращивания — продолжительный сбор урожая помидоров в течение нескольких месяцев и дальнейшее долгосрочное хранение, лучше обратить внимание на индетерминантные сорта.

Оба типа томатов могут выращиваться как в тепличных условиях, так и в открытом грунте, в зависимости от особенностей конкретного сорта и гибрида. Выяснив различия между детерминантными и индетерминантными томатами, рассмотрев их преимущества и недостатки, можно с лёгкостью выбрать подходящие сорта.

Определитель матрицы

Определитель — это специальное число , которое можно вычислить по матрице.

Матрица должна быть квадратной (одинаковое количество строк и столбцов), как эта:

Матрица
(у нее 2 строки и 2 столбца)

Вычислим определитель этой матрицы:

3×6 − 8×4
= 18 − 32
= −14

Полегче, а? Вот еще пример:

Пример:

Символ для определителя представляет собой две вертикальные линии с каждой стороны, например:

|Б| = 1×4 − 2×3
= 4 − 6
= −2

(Примечание: это тот же символ, что и абсолютное значение. )

Для чего это?

Определитель помогает нам найти обратную матрицу, рассказывает нам о матрице, что полезно в системах линейных уравнений, исчислении и многом другом.

Вычисление определителя

Прежде всего, матрица должна быть квадратной (т.е. иметь такое же количество строк, как и столбцов). Тогда это просто арифметика.

Для матрицы 2×2

Для матрицы 2×2 (2 строки и 2 столбца):

Определитель:

|А| = ad − bc
«Определитель A равен a, умноженному на d минус b, умноженному на c»

Легко вспомнить, когда думаешь о кресте:

  • Синий положительный (+реклама),
  • Красный отрицательный (−bc)
 

Пример: найти определитель

Отвечать:

|С|= 4×8 − 6×3

 = 32 − 18

 = 14

Для матрицы 3×3

Для матрицы 3×3 (3 строки и 3 столбца):

Определитель:

|А| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
«Определитель A равен . .. и т. д.»

Это может показаться сложным, но есть шаблон :

Чтобы вычислить определитель матрицы 3×3 :

  • Умножьте на на определитель матрицы 2×2 , который равен не в строке или столбце .
  • Аналогично для b и для c
  • Суммируйте их, но помните минус перед b

Как формула (помните, что вертикальные черточки || означают «детерминант») :


«Определитель числа A равен a, умноженному на определитель числа … и т. д.»

Пример:

|Д| = 6×(−2×7 − 5×8) − 1×(4×7 − 5×2) + 1×(4×8 − (−2×2))

= 6×(−54) − 1×(18) + 1×(36)

 = −306

Для матриц 4×4 и выше

Шаблон продолжается для матриц 4×4:

  • плюс определитель матрицы, который равен не в строке или столбце,
  • минус b , умноженный на определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце b ,
  • плюс c умноженный на определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце c ,
  • минус d , умноженный на определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце d ,

В виде формулы:

Обратите внимание на шаблон +-+- (+a. .. −b… +c… −d…). Это важно помнить.

 

Паттерн продолжается для матриц 5×5 и выше. Обычно для этого лучше всего использовать матричный калькулятор!

 

Не единственный способ

Этот метод расчета называется «расширение Лапласа», и мне он нравится, потому что его легко запомнить. Но есть и другие методы (чтобы вы знали).

Резюме

  • Для матрицы 2×2 определитель равен ad — bc
  • Для матрицы 3×3 умножьте a на определитель матрицы 2×2 , то есть , а не в строке или столбце a , аналогично для b и c , но помните, что b имеет отрицательный знак!
  • Шаблон продолжается для больших матриц: умножьте на на определитель матрицы , то есть , а не в строке или столбце на , продолжайте таким же образом по всей строке, но помните + — + — шаблон.

 

718 2390 2391 2392 8477 719 2393 8478 8479 8480

Детерминанты — Значение, определение | Матрица 3×3, Матрица 4×4

Детерминанты – это скалярные величины, полученные суммой произведений элементов квадратной матрицы и их сомножителей по заданному правилу. Они помогают найти сопряженную, обратную матрицу. В дальнейшем для решения линейных уравнений методом обращения матриц нам необходимо применить эту концепцию.Перекрестное произведение двух векторов легко запоминается путем вычисления определителей.

В этой статье давайте больше узнаем о процессе нахождения определителей разных порядков и их свойствах, а также поработаем над несколькими решенными примерами.

Что такое детерминанты?

Детерминанты рассматриваются как коэффициент масштабирования матриц. Их можно рассматривать как функции растяжения и сжатия матриц.Детерминанты принимают квадратную матрицу на входе и возвращают одно число на выходе.

Определение детерминантов

Для каждой квадратной матрицы C = [\(c_{ij}\)] порядка n×n определитель может быть определен как скалярное значение, которое является действительным или комплексным числом, где \(c_{ij}\) является (i, j) -м элементом матрицы C. Определитель можно обозначить как det(C) или |C|, здесь определитель записывается путем взятия сетки чисел и размещения их внутри столбцов абсолютного значения вместо использования квадратных скобок.

Рассмотрим матрицу C = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \\ 3 & 4\end{array}\right]\)

Тогда его определитель можно представить как:

|С| = \(\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|\)

Как рассчитать определители?

Для простейшей квадратной матрицы порядка 1×1, которая имеет только одно число, определитель становится самим числом. Давайте научимся вычислять определители для матриц второго, третьего и четвертого порядка.

Вычисление определителя матрицы 2×2

Для любой квадратной матрицы 2×2 или квадратной матрицы порядка 2×2 мы можем использовать формулу определителя для вычисления ее определителя:

C = \(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\end{массив}\right]\)

Его определитель 2×2 можно вычислить как:

|С| = \(\left|\begin{массив}{ll}a & b \\c & d\end{массив}\right|\) = (a×d) — (b×c)

Например: C = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ \\3 & 4\end{array}\right]\)

Его определитель можно вычислить как:

|С| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\)

|С| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14

Вычисление определителя матрицы 3×3

Для любой квадратной матрицы 3×3 или квадратной матрицы порядка 3×3 \(C = \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2 } & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right] \), определитель представляется как:

|С| (или) det C = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \ \a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right| \)

Вот шаги по вычислению определителя матрицы 3×3 .

  • a 1 фиксируется как номер привязки и определитель 2×2 его подматрицы (минор 1 ).
  • Аналогично вычислите миноры b 1 и c 1 .
  • Продолжайте умножать малый определитель на номер привязки и на его знак \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & — \\+ &-& + \end{array }\право|\)
  • Наконец, суммируйте их.

|С| = \(a_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\b_{3} & c_{3}\end{массив}\right|-b_ {1} \cdot\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1} \ cdot\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\a_{3} & b_{3}\end{array}\right|\)

|С| = \(a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3} c_{2}\right)-b_{1}\left(a_{2} c_{3}-a_{3 } c_{2}\right)+c_{1}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)\)

Рассмотрим этот пример:

\(B = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right] \)

Его определитель вычисляется как:

|Б| = \(\left|\begin{массив}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{массив}\right| \)

= \(3 \cdot\left|\begin{array}{ll}-2 & 5 \\8 & ​​7\end{массив}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{cc} 4 & 5 \\2 & 7\end{массив}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ll} 4 & -2 \\2 & 8\end{массив}\right|\)

= 3 × ((-2)(7) — (5)(8)) -1 × ((4)(7) — (5)(2)) + 1 × ((4)(8) — ( -2)(2))

= 3 × ((-14) — (40)) -1 × ((28) — (10)) + 1 × ((32) — (-4))

= 3 × (-54) -1 × (18) + 1 × (36)

= — 162 — 18 + 36

= -144

Обратите внимание, что здесь мы вычислили определитель матрицы 3×3, используя первую строку. Но любую строку/любой столбец можно использовать для вычисления определителей.

Вычисление определителя матрицы 4×4

Рассмотрим приведенную ниже квадратную матрицу 4×4 или квадратную матрицу порядка 4×4. Следующие изменения следует учитывать при нахождении определителя матрицы 4×4 :

B = \(\left[\begin{array}{cccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2 } & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end {массив}\справа]\)

  • плюс умноженный на 1 определитель матрицы 3×3, полученный удалением строки и столбца, содержащего 1
  • минус b 1 умножить на определитель матрицы 3×3, полученный удалением строки и столбца, содержащего b 1
  • плюс c 1 умножить на определитель матрицы 3×3, полученный удалением строки и столбца, содержащего c 1
  • минус d 1 умножить на определитель матрицы 3×3, полученный удалением строки и столбца, содержащего d 1

\(\begin{align}|B| = &a_{1} \cdot\left|\begin{array}{lll}b_{2} & c_{2} & d_{2} \\b_{3} & c_{3} & d_{3} \\b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{массив}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{массив}{ ccc}a_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & c_{4} & d_{4}\end {массив}\right|\\&+c_{1}\cdot\left|\begin{массив}{ccc}a_{2} & b_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{ 3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & d_{4}\end{массив}\right|-d_{1} \cdot\left|\begin{массив}{ccc}a_ {2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4}\end{массив} \право|\конец{выравнивание}\)

Мы можем использовать метод, упомянутый в предыдущем разделе, чтобы найти определитель матриц 3×3. Вот простой способ найти его.

Умножение определителей

Мы используем метод, называемый умножением массивов, для умножения двух определителей квадратных матриц. Давайте посмотрим на правило умножения строк на столбцы для умножения двух определителей квадратных матриц A и B:

Умножение определителей 2×2

Рассмотрим две квадратные матрицы A и B порядка 2×2, сначала обозначим их соответствующие определители как |A| и |Б| как показано ниже:

|А| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\mathrm{a}_{2} & \mathrm{~ б}_{2}\конец{массив}\право|\)

|Б| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{p}_{1} & \mathrm{~q}_{1} \\\mathrm{p}_{2} & \mathrm{~ q}_{2}\end{массив}\right|\)

|А| × |В| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\mathrm{a}_{2} & \mathrm{~ b}_{2}\end{массив}\right| \times\left|\begin{array}{cc}p_{1} & \mathrm{~q}_{1} \\p_{2} & \ mathrm{~q}_{2}\end{массив}\right|=\left|\begin{массив}{ll}\mathrm{a}_{1} p_{1}+\mathrm{b}_{ 1} p_{2} & \mathrm{a}_{1} \mathrm{~q}_{1}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~q}_{2} \\\mathrm {a}_{2} p_{1}+\mathrm{b}_{2} p_{2} & \mathrm{a}_{2} \mathrm{~q}_{1}+\mathrm{b }_{2} \mathrm{~q}_{2}\end{массив}\right|\)

Умножение определителей 3×3

Рассмотрим две матрицы C и D порядка 3×3, сначала обозначим их соответствующие определители как |C| и |Д| как показано ниже:

|С| = \(\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right|\)

|Д| = \(\left|\begin{array}{lll}p_{1} & q_{1} & r_{1} \\p_{2} & q_{2} & r_{2} \\p_{3} & q_{3} & r_{3}\end{массив}\right|\)

|С| × |Д| = \(\left|\begin{массив}{lll}
a_{1} p_{1}+b_{1} p_{2}+c_{1} p_{3} & a_{1} q_{1}+b_{1} q_{2}+c_{1} q_ {3} & a_{1} r_{1}+b_{1} r_{2}+c_{1} r_{3} \\a_{2} p_{1}+b_{2} p_{2}+ c_{2} p_{3} и a_{2} q_{1}+b_{2} q_{2}+c_{2} q_{3} & a_{2} r_{1}+b_{2} r_ {2}+c_{2} r_{3} \\a_{3} p_{1}+b_{3} p_{2}+c_{3} p_{3} и a_{3} q_{1}+ b_{3} q_{2}+c_{3} q_{3} & a_{3} r_{1}+b_{3} r_{2}+c_{3} r_{3}\end{массив}\ справа|\)

Вот некоторые моменты, которые следует помнить при умножении двух определителей:

  • Чтобы умножить два определителя, нам нужно убедиться, что они имеют один и тот же порядок
  • Значение определителя не меняется, когда строки и столбцы меняются местами, поэтому мы можем также следовать правилам умножения столбец за строкой, строку за строкой или столбец за столбцом, чтобы умножить два определителя.

Свойства определителей

Для квадратных матриц разных типов при вычислении ее определителя они вычисляются на основе некоторых важных свойств определителей. Вот список некоторых важных свойств определителей:

Свойство1: «Определитель единичной матрицы всегда равен 1»

Рассмотрим определитель единичной матрицы I = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\0 & 1\end{array}\right]\), |I| = (1)(1) — (0)(0) = 1.

Таким образом, определитель любой единичной матрицы всегда равен 1.

Свойство 2: «Если любая квадратная матрица B порядка n×n имеет нулевую строку или нулевой столбец, то det(B) = 0»

Рассмотрим определитель единичной матрицы B,

|Б| = \(\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \\0 & 0\end{array}\right|\)

|Б| = (2)(0) — (2)(0) = 0

Здесь квадратная матрица B имеет одну нулевую строку, и, таким образом, определитель этой квадратной матрицы становится равным нулю.

Свойство 3: «Если C является верхней или нижнетреугольной матрицей, то det(C) является произведением всех ее диагональных элементов»

Рассмотрим верхнюю треугольную матрицу C с диагональными элементами 3, 2 и 4. Определитель |C| можно найти как:

|С| = \(\left|\begin{массив}{ccc}3 & 1 & 1 \\0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 4\end{массив}\right| \)

|С| = 3 × 2 × 4 = 24

Свойство 4: «Если D — квадратная матрица, то если ее строку умножить на константу k, то константу можно вынести из определителя»

|Д| = \(\left|\begin{массив}{ll}k×a & k×b \\c & d\end{массив}\right|\) |Д| = k × \(\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|\)

|Д| = \(\left|\begin{массив}{ll}2 и 4 \\1 и 5\конец{массив}\right|\)

= (2)(5) — (4)(1)

= 10 — 4 = 6

|Д| = 2 × \(\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\1 & 5\end{array}\right|\)

= 2 × ((1)(5) — (2)(1))

= 2 × (5-2) = 2 × 3 = 6

Таким образом, определитель остается одним и тем же в обоих случаях.

Другими важными свойствами определителей являются:

  • Квадратная матрица C считается обратимой тогда и только тогда, когда det(C) ≠ 0.
  • Если B и C — две квадратные матрицы порядка n × n, то det(BC) = det(B) × det(C) = det(C) × det(B)
  • Связь между определителем матрицы D и присоединенным к ней adj(D) может быть представлена ​​как D × adj(D) = adj(D) × D = |D| × I. Здесь D — квадратная матрица, а I — единичная матрица.

Правила операций над определителями

Следующие правила полезны для выполнения операций со строками и столбцами над определителями.

  • Значение определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами.
  • Знак определителя меняется, если поменять местами любые две строки или (два столбца).
  • Если любые две строки или столбца матрицы равны, то значение определителя равно нулю.
  • Если каждый элемент определенной строки или столбца умножается на константу, то значение определителя также умножается на константу.
  • Если элементы строки или столбца выражены в виде суммы элементов, то определитель может быть выражен в виде суммы определителей.
  • Если элементы строки или столбца сложить или вычесть с соответствующими кратными элементами другой строки или столбца, то значение определителя остается неизменным.

Важные примечания по детерминантам:

Вот несколько пунктов, которые следует помнить при изучении определителей

  • Детерминанты можно рассматривать как функции, принимающие на вход квадратную матрицу и возвращающие на выходе одно число.
  • Квадратная матрица может быть определена как матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов.
  • Для простейшей квадратной матрицы порядка 1×1, которая имеет только одно число, определитель становится самим числом.

☛ Похожие темы:

Часто задаваемые вопросы об определителях

В чем смысл детерминантов?

Определитель квадратной матрицы C = [\(c_{ij}\)] порядка n×n может быть определен как скалярное значение, которое является действительным или комплексным числом, где \(c_{ij} \) является (i,j) -м элементом матрицы C. Он обозначается как det(C) или |C|, здесь определитель записывается путем взятия сетки чисел и размещения их внутри столбцов абсолютного значения вместо использования квадратных скобок. Определитель квадратной матрицы \(C = \left[\begin{array}{ll} 4 & 2\\ \\ 5 & 3\end{array}\right]\) можно записать как: \(|C| = \left|\begin{массив}{ll} 4 & 2\\5 & 3\end{массив}\right|\). Он получается путем умножения элементов любой строки или столбца на соответствующие им коэффициенты и сложения произведений.

Для чего используются определители?

Детерминанты играют важную роль в линейных уравнениях, где они используются для регистрации изменений переменных в целых числах и того, как линейные преобразования изменяют объем или площадь.Детерминанты особенно полезны в приложениях, где используются обратные и сопряженные матрицы. Перекрестное произведение двух векторов также вычисляется с помощью определителей.

Какая формула определителя матрицы 2×2?

Для любой квадратной матрицы 2×2 или квадратной матрицы порядка 2×2 мы можем использовать эту формулу определителя для вычисления ее определителя:

\(C = \left|\begin{array}{ll}a & b\\c & d\end{массив}\right|\). Формула для вычисления определителя 2×2: |C| = (а×г) — (б×с)

Что такое примеры определителей?

Рассмотрим пример квадратной матрицы D, D = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right]\).Его определитель можно вычислить как: |D| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\) |D| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14.

Являются ли детерминанты коммутативными?

Да, умножение определителей коммутативно, и это можно легко понять с помощью следующего свойства: если B и C — две квадратные матрицы порядка n × n, то det(BC) = det(B) × det(C) = det( С) × дет(В).

Каковы свойства определителей?

Вот список некоторых важных свойств определителей:

  • Определитель единичной матрицы всегда равен 1
  • Если любая квадратная матрица B порядка n×n имеет нулевую строку или нулевой столбец, то det(B) = 0.
  • Если C является верхнетреугольной или нижнетреугольной матрицей, то det(C) является произведением всех ее диагональных элементов.
  • Если D — квадратная матрица, то если ее строку умножить на константу k, то эту константу можно вынести из определителя.
  • Квадратная матрица C считается обратимой тогда и только тогда, когда det(C) ≠ 0.
  • Если B и C — две квадратные матрицы порядка n × n, то det(BC) = det(B) × det(C) = det(C) × det(B)
  • Связь между определителем матрицы D и присоединенным к ней adj(D) может быть представлена ​​как D × adj(D) = adj(D) × D = |D| × Я.Здесь D — квадратная матрица, а I — единичная матрица.

Как вы оцениваете определители матрицы 3×3?

Любой определитель 3×3 можно вычислить следующим образом:

\(C = \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{ 3} & b_ {3} & c_ {3}\end{массив}\right] \)
Его определитель можно вычислить как:

  • a 1 фиксируется как номер привязки, и вычисляется определитель 2×2 его подматрицы, которая представляет собой квадратную матрицу.
  • Берется следующий номер привязки по порядку, теперь это b 1 и вычисляется малый определитель, и, наконец, в качестве номера привязки берется c 1 и вычисляется его определитель 2×2.
  • Попеременно продолжайте умножать меньший определитель на номер привязки и на его знак \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & — \\+ &-& + \end{ массив}\справа|\).
  • |С| = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right| \)
    |С| = \(a_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\b_{3} & c_{3}\end{массив}\right|-b_ {1} \cdot\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1} \ cdot\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\a_{3} & b_{3}\end{array}\right|\)
  • Наконец, просуммируйте их.|С| = \(a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3} c_{2}\right)-b_{1}\left(a_{2} c_{3}-a_{3 } c_{2}\right)+c_{1}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)\)

Каковы правила выполнения операций со строками и столбцами над определителями?

Следующие правила полезны для выполнения операций со строками и столбцами над определителями.

  • Если строки и столбцы поменять местами, то значение определителя останется неизменным
  • При перестановке любых двух строк или (двух столбцов) знак определителя меняется
  • Значение определителя матрицы, в которой две строки/столбца равны, равно нулю.
  • Если каждый элемент определенной строки или столбца матрицы умножается на константу, то ее определитель также умножается на константу.
  • Если элементы строки или столбца выражены в виде суммы элементов, то определитель можно разбить на сумму определителей.
  • Если строку (или столбец) умножить на число и полученные элементы добавить к другой строке (или столбцу), то определитель не изменится.

Что такое определитель треугольной матрицы?

Определитель треугольной матрицы можно найти, вычислив произведение всех ее диагональных элементов.Это применимо как к верхнетреугольным, так и к нижнетреугольным матрицам.

Могут ли определители быть отрицательными?

Определители представляют скалярную величину, которая является действительным числом. Таким образом, определители могут быть отрицательными. Если определители отрицательны, это означает, что матрица изменила ориентацию своего базового вектора. |-А| = (-1) n |А|. Возьмите любой положительный определитель, поменяйте местами любые две строки или столбца матрицы и найдите такой определитель, который дал бы отрицательный результат.

Что такое определитель матрицы? | Марсель Моосбруггер

Геометрическая интуиция, стоящая за детерминантами, может изменить ваше представление о них.

Изображение автора (marcelmoos.com)

Вспоминая школьные годы, линейная алгебра была темой, которой я был особенно увлечен. Это дало мне умение решать большие системы линейных уравнений и геометрическую перспективу проблемы, что сделало весь процесс интуитивно понятным.

Однако, что касается определителей матриц, меня учили, что это числа для матриц, как их вычислять, и не более того.Только на курсах в университете я узнал красоту детерминантов.

Как только я узнал о геометрическом значении определителей, мне стало интересно, почему этому еще не учили в старшей школе, поскольку это очень легко понять и открыть для ума.

В математике вопрос о том, как что-то вычислить, никогда не должен стоять на первом месте. Первый вопрос всегда звучит так: «Что это ТАКОЕ на самом деле?». Только тогда мы должны спросить: «Хорошо, теперь, когда мы знаем, что это такое, как мы можем это вычислить». Возьмем, к примеру, производные, поскольку большинство из нас знает, что такое производные:

Для заданной функции ее производной является ее наклон или скорость изменения.

Это такое простое описание. Тем не менее, определение производных таким образом очень мощно и освобождающе. Мы понимаем, что такое производная, независимо от конкретной функции или размерности функции и независимо от того, как ее вычислить. Фактическое вычисление производных сильно отличается для разных функций. Однако фундаментальный смысл производных связывает все воедино и вносит порядок в хаос.

Ни один учитель не стал бы знакомить учащихся с производными, например: «Для заданной функции производная — это просто еще одна функция, и вот как вы ее вычисляете…». Тем не менее, для определителей матриц такие объяснения, по-видимому, широко распространены. Определять определители по их геометрическому смыслу, а не просто по некоторым числам, так же эффективно, как думать о производных как о наклонах, а не только как о функциях.

Прежде чем углубляться в детерминанты, давайте быстро вспомним, для чего они предназначены: Матрицы.

Матрица — это таблица чисел, представляющая линейную функцию , принимающая вектор в качестве входных данных и производящая другой вектор в качестве выходного:

Вместо матрицы, преобразующей один единственный вектор, мы также можем представить все) векторов одновременно:

Видишь? Похоже, что выбранная нами матрица растягивает пространство на расстояние . Какую бы область во входном пространстве мы ни выбрали, кажется, что после преобразования площадь становится больше. Это именно то, что является определителем!

Определитель матрицы — это коэффициент, на который площади масштабируются этой матрицей.

Поскольку матрицы представляют собой линейные преобразования, достаточно знать масштабный коэффициент для одной отдельной области, чтобы знать масштабный коэффициент для всех областей. Вернемся к нашему примеру:

Прямоугольник, вписанный розовым и синим единичными векторами, имеет площадь 1.После применения нашего матричного преобразования этот прямоугольник превратился в параллелограмм с основанием 2 и высотой 2. Таким образом, он имеет площадь 4. Это означает, что наша матрица масштабирует площадь в 4 раз. Следовательно, определитель нашей матрицы равен 4 . Аккуратно, не так ли?

В этой истории есть одна оговорка: определители могут быть отрицательными! Если мы начнем с площади 1 и масштабируем ее с отрицательным коэффициентом, мы получим отрицательную площадь. А отрицательные области — ерунда. Итак, как мы можем понять наше красивое геометрическое определение при наличии отрицательных определителей? К счастью, исправление простое: если матрица имеет отрицательный определитель, скажем -2, площади масштабируются на 2. Минус просто означает, что пространство изменило свою ориентацию. «Что теперь это вообще значит?», — справедливо спросите вы. Давайте посмотрим:

Мы видим, что данная матрица масштабирует площади в 2 раз.Если мы посмотрим внимательно, то заметим, что синий вектор был справа от розового вектора, но оказался слева. Вот что значит «пространство изменило свою ориентацию». Поэтому определитель матрицы равен не 2 , а -2 . Включая отрицательные определители, мы получаем полную картину:

Определитель матрицы — это знаковый коэффициент, на который площади масштабируются этой матрицей. Если знак отрицательный, матрица меняет ориентацию.

Все наши примеры были двумерными. Трудно рисовать многомерные графики. Геометрическое определение определителей применимо к высшим измерениям точно так же, как и к двум. В трехмерном пространстве определителем является масштабный коэффициент со знаком для объемов и даже в более высоких измерениях для гиперобъемов. . Например, вы могли слышать или не слышать следующий факт:

Если определитель матрицы равен 0, она необратима.

Необратимость матрицы означает, что преобразование, которое представляет матрица, не может быть отменено или отменено. Если мы знаем только, как вычисляются детерминанты, и ничего не знаем об их геометрическом значении, обосновать этот факт сложно. В отличие от этого, используя нашу недавно установленную интуицию относительно детерминантов, объяснить, почему это верно, становится не так сложно:

Допустим, у нас есть матрица с определителем 0 . Это означает, что матрица масштабирует все области с коэффициентом 0 , что, в свою очередь, означает, что после преобразования все области становятся равными 0 . Это может произойти только в том случае, если матрица сжимает все пространство в более низкое измерение. Например, двумерное пространство будет сжато в одну линию или точку, и такое преобразование нельзя будет отменить.

Достигнув этого момента, мы можем собой гордиться. Мы ввели определители матриц как коэффициенты масштабирования площади и сумели обосновать известное свойство матриц и определителей. И все это мы сделали, даже не задумываясь о том, как вычисляются определители. Но этот вопрос в любом случае должен быть второстепенным.

Детерминанты — обзор | ScienceDirect Topics

9.2 Детерминанты

Из примера в предыдущем разделе должно быть очевидно, что формулировка задачи с использованием метода HMO для описания молекулы приводит к детерминанту . Определитель представляет функцию в виде массива, который содержит элементов в строках и столбцах . Вековый определитель встречался и ранее при работе с двухатомными молекулами (см. 3). Число строк или столбцов (они равны) называется рангом (или порядком ) определителя. Детерминанты важны в методе Хюккеля, поэтому нам нужно показать, как ими манипулируют.

Определитель можно свести к уравнению, известному как характеристическое уравнение . Предположим, мы рассматриваем определитель 2 × 2,

(9,24)abcd=0

. Упрощение этого определителя для получения характеристического уравнения включает умножение по одной диагонали и вычитание произведения, полученного умножением по другой диагонали.Это правило, примененное к предыдущему определителю, дает

(9.25)abcd=ad−bc=0

Если определитель можно записать как

(9.26)x11x=0

, то расширение определителя дает характеристическое уравнение

( 9.27)x2−1=0

, которое является уравнением, возникающим при рассмотрении π-связи в этилене (см. раздел 9.1).

Если рассматриваемая молекула содержит три атома, мы получим определитель 3 × 3, такой как

(9. 28)abcdefghi=0

Разложение определителя 3 × 3 несколько сложнее, чем разложение определителя 2 × 2. Один из методов можно проиллюстрировать следующим образом. Сначала расширим определитель, снова записав первые два столбца справа от определителя: прямое приводит к произведениям, которые положительные, и умножение на левое приводит к произведениям, которые отрицательные .Поэтому в этом случае получаем характеристическое уравнение

(9.29)aei+bfg+cdh−ceg−afh−bdi=0

. определитель следующим образом:

x101x101xx101x1

Этот метод приводит к характеристическому уравнению, которое сводится к

(9,31)x3−2x=0,

, а его корни равны x  = 0, −(2) 1/9027 2 и + (2) 1/2 . Однако этот метод разложения по диагоналям работает только для определителей 2 × 2 и 3 × 3, поэтому нам нужен более общий метод разложения определителей более высокого порядка.

Рассмотрим определитель 4 × 4:

(9. 32)abcdefghijklmnop=0

Расширение этого определителя осуществляется с помощью процедуры, известной как метод кофакторов . В этом методе мы начинаем с элемента и и удаляем строку и столбец, содержащие и . Затем остаток определителя умножается на a , чтобы получить

afghjklnop

Часть определителя, умноженная на a , называется младшим и будет иметь ранг ( n 6 ), где n — ранг исходного определителя.Теперь мы повторяем этот процесс, за исключением того, что b удаляется, знак, предшествующий этому члену, отрицательный и так далее. Таким образом,

(9.33)abcdefghijklmnop=afghjklnop−beghiklmop+cefhijlmnp−defgijkmno

Расширение каждого определителя 3 × 3 теперь можно продолжить, как показано ранее.

Кофакторы обозначены как C ij и их общая формула

(9.34)Cij=−1i+jMij

где M ij минор, имеющий ранг (6 0 7 5 ) . Для определителя

(9.35) x1001x1001x1001x = 0

Мы можем показать расширение, чтобы найти характерное уравнение как

(9.36) x1001x1001x1001x = xx101x101x-11100x101x + 01x001100x-01x101x001

в результате последних двух терминов , характеристическое уравнение может быть записано как меньших единиц или субдетерминант.Из-за симметрии определителя иногда можно упростить определитель, как показано в следующем примере.

Рассмотрим детерминант

(9.38) x2400x30000122x005x2 = fx

= fx

в этом случае, представленная функциями может быть записана как

(9.39) x24x3⋅122x5x2 = fx

, расширяющаяся каждая из 2 × 2 определителями определяется как проиллюстрировано ранее, чтобы дать характеристическое уравнение структуры.Поскольку учитываются только взаимодействия между соседними атомами, несколько элементов векового определителя можно установить равными 0.

Детерминанты также обладают другими полезными и интересными свойствами, которые будут только перечислены здесь. Полное обсуждение математики детерминантов см. в ссылках, перечисленных в конце этой книги.

1.

Перестановка двух строк (или столбцов) определителя дает определитель, отрицательный по сравнению с исходным.

2.

Если каждый элемент в строке (или столбце) определителя умножить на константу, результатом будет константа, умноженная на исходный определитель.

Если мы рассмотрим определитель

(9.41)D=abcd

, то теперь можно умножить каждый элемент второго столбца на k , чтобы получить

(9.42)D=akbckc

Разложение этого определителя дает

2

2 adk-bck=kad-bc=kabcd

, который показывает, что результат действительно равен константе, умноженной на определитель.

3.

Если две строки (или столбца) в определителе идентичны, то определитель имеет значение 0. Например,

(9.43)aabccdeef=acf+ade+bce-bce-ade- acf=0

4.

Если определитель имеет одну строку (или столбец), где каждый элемент равен нулю, определитель равен 0. Это очень легко проверить, поэтому пример здесь не приводится. . Как мы увидим далее в этой главе, оценка детерминант — неотъемлемая часть метода ОПЗ.

Определитель квадратной матрицы

6.4 — Определитель квадратной матрицы

Определитель — это действительное число, связанное с каждой квадратной матрицей. я еще не нашел хорошего Английское определение того, что такое определитель. Все, что я могу найти, либо определяет его в терминах математическая формула или предлагает некоторые из ее применений. Есть даже определение определитель, определяющий его через самого себя.

Определитель квадратной матрицы A обозначается «det A» или | А |.Последнее выглядит как абсолютное значение A, но вам придется применять контекст. Если вертикальные линии расположены вокруг матрица, значит определитель.

Строка ниже показывает два способа записи определителя.

3 1 = от   3 1  
5 2   5 2  

Определитель матрицы 2×2

Определитель матрицы 2×2 находится так же, как операция поворота.Это произведение элементов главной диагонали на минус произведение элементов вне главной диагонали.

Свойства определителей

  • Определитель — действительное число, а не матрица.
  • Определитель может быть отрицательным числом.
  • Он вообще не связан с абсолютным значением, за исключением того, что они оба используют вертикальные линии.
  • Определитель существует только для квадратных матриц (2×2, 3×3, … п×п). Определитель матрицы 1 × 1 — это единственное значение в определителе.
  • Обратная матрица будет существовать, только если определитель не равен нулю.

Расширение с использованием миноров и кофакторов

Определение определителя, которое у нас есть, относится только к матрице 2×2. Существует ярлык для матрицу 3×3, но я твердо верю, что вы должны изучить способ, который будет работать для всех размеров, а не только частный случай для матрицы 3×3.

Метод называется расширением с использованием миноров и кофакторов. Прежде чем мы сможем использовать их, мы должны определить их.

Несовершеннолетние

Минором для любого элемента является определитель, который получается, когда строка и столбец это элемент находится в удалении.

Обозначение M ij используется для обозначения минора элемента в строке i и столбце j. Таким образом, M 21 будет означать минор для элемента в строке 2, столбце 1.

Рассмотрим определитель 3×3, показанный ниже. Я включил заголовки, чтобы вы можете оставить строки и столбцы прямыми, но обычно вы не включаете те. Мы собираемся найти некоторых несовершеннолетних.

  С 1 С 2 С 3
Р 1 1 3 2
Р 2 4 1 3
Р 3 2 5 2

Поиск минора для R

2 C 1

Минор — это определитель, который остается при удалении строки и столбца элемента, для которого вы пытаетесь найти минор.Это означает, что мы должны удалить строку 2 и столбец 1, а затем найти определитель.

  С 2 С 3  
Р 1 3 2 = 3(2) — 5(2) = 6 — 10 = -4
Р 3 5 2

Как видите, минор для строки 2 и столбца 1 равен M 21 = -4.

Попробуем еще.

Поиск минора для R

3 C 2

На этот раз мы удалим строку 3 и столбец 2.

  С 1 С 3  
Р 1 1 2 = 1(3) — 4(2) = 3 — 8 = -5
Р 2 4 3

Таким образом, минор для строки 3, столбца 2 равен M 32 = -5.

Матрица миноров

Когда вы просто пытаетесь найти определитель матрицы, это излишество. Но есть одно чрезвычайно полезное приложение для него, и оно даст нам практику поиск несовершеннолетних.

Матрица миноров – это квадратная матрица, в которой каждый элемент является минором для числа в этой позиции.

Вот общая матрица миноров для определителя 3×3.

    С 1 С 2 С 3  
Р 1   М 11 М 12 М 13  
Р 2   М 21 М 22 М 23  
Р 3   М 31 М 32 М 33  

Найдем матрицу миноров для нашего исходного определителя.Здесь определитель.

  С 1 С 2 С 3
Р 1 1 3 2
Р 2 4 1 3
Р 3 2 5 2

Вот работа по поиску каждого минора в матрице миноров.

  С 1 С 2 С 3
Р 1
= 2 — 15 = -13

= 8 — 6 = 2

= 20 — 2 = 18
Р 2
= 6 — 10 = -4

= 2 — 4 = -2

= 5 — 6 = -1
Р 3
= 9 — 2 = 7

= 3 — 8 = -5

= 1 — 12 = -11

Наконец, вот матрица миноров. Опять же, вам не нужно ставить ярлыки для строки и столбцов там, но это может вам помочь.

    С 1 С 2 С 3  
Р 1   -13 2 18  
Р 2   -4 -2 -1  
Р 3   7 -5 -11  

Кофакторы

Кофактор для любого элемента является либо минором, либо противоположным минору, в зависимости от того, где находится элемент в исходном определителе. Если ряд и столбец элемента в сумме должен быть четным числом, тогда кофактор — это то же, что минор. Если строка и столбец элемента в сумме являются нечетными число, то кофактор напротив минора.

Ооо, понял? Нечетные знаки меняются, четные — это один и тот же знак. Дежавю. Мы говорили об этом начиная с раздела 3.2 о многочленах.

Таблица знаков

Вместо того, чтобы складывать строку и столбец элемента, чтобы увидеть, нечетное или четное, многие люди предпочитают использовать диаграмму знаков.Знаковая диаграмма либо + или — для каждого элемента в матрице. Первый элемент (строка 1, столбец 1) является всегда + и он чередуется оттуда.

Примечание: + не означает положительное значение, а — отрицательное. + означает то же самое знак как минор, а — означает противоположность минора. Подумайте об этом дополнение и вычитание, а не положительное или отрицательное.

Вот таблица знаков для определителя 2×2.

Вот таблица знаков для определителя 3×3.

  С 1 С 2 С 3
Р 1 + +
Р 2 +
Р 3 + +

Матрица кофакторов

Опять же, если все, что вы пытаетесь сделать, это найти определитель, вам не нужно пройти через эту большую работу.

Матрица кофакторов — это матрица, полученная заменой каждого элемента матрица своим кофактором. Это матрица миноров с измененными знаками на элементах в — позициях.

    С 1 С 2 С 3  
Р 1   -13 -2 18  
Р 2   4 -2 1  
Р 3   7 5 -11  

Расширение для поиска определителя

Вот шаги, которые нужно пройти, чтобы найти определитель.

  1. Выберите любую строку или столбец в матрице. Неважно, какой ряд или какой столбец, который вы используете, ответ будет одинаковым для любой строки. Есть несколько рядов или столбцы, которые проще, чем другие, но мы вернемся к этому позже.
  2. Умножать каждый элемент в этой строке или столбце по его кофактору и добавить. Результатом является определитель.

Расширим нашу матрицу по первой строке.

Из таблицы знаков мы видим, что 1 находится в положительном положении, 3 — в отрицательном. положение и 2 находится в положительном положении.Ставя + или — перед элемента, он заботится о корректировке знака при переходе от минора к кофактору.

+ 1 1 3 — 3 4 3 + 2 4 1
5 2 2 2 2 5

= 1 (2 — 15) — 3 (8 — 6) + 2 (20 — 2)
= 1 (-13) — 3 (2) + 2 (18)
= -13 — 6 + 36
= 17

Определитель этой матрицы равен 17.

Как я уже говорил ранее, на самом деле не имеет значения, какую строку или столбец вы используете.

Попробуем еще раз, но на этот раз расширим второй столбец. Как усилие чтобы сэкономить время, миноры для этого столбца (из матрицы миноров) были равны 2, -2 и -5. Исходными элементами были 3, 1 и 5. 3 и 5 отрицательные. позиции.

определитель = — 3 ( 2 ) + 1 ( -2 ) — 5 ( -5 ) = -6 -2 + 25 = 17

Разверните любую строку или любой столбец, вы получите 17.

Но диагонали делать нельзя.Если попробуем главную диагональ, получится

+ 1 (-13) + 1 (-2) + 2 (-11) = -13 -2 — 22 = -37

Некоторые строки или столбцы лучше других

  1. Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.
    Поскольку каждый минор или кофактор умножается на элемент в матрице, выбор строки или столбца с большим количеством нулей означает, что вы будете умножение на много нулей. Умножение на ноль совсем не занимает много времени. На самом деле, если элемент равен нулю, вы не нужно найти даже несовершеннолетнего или кофактор.
  2. Выберите строку или столбец с наибольшим числом (или переменными) в нем.
    Элементы в строке или столбце, которые вы расширяете, не используются для поиска несовершеннолетние. Единственное место, где они умножаются, это один раз, в расширении. Если вы выберете строку или столбец с наименьшие числа, то каждый минор будет произведением больших чисел.
    Если вы выберете строку или столбец, в которых есть переменные, вы только имеют умножить на переменные один раз, во время расширения.

Обратная матрица (повторно)

На этот раз рассмотрим наш первоначальный определитель в виде матрицы.

  1 3 2  
  4 1 3  
  2 5 2  

Найдите матрицу миноров , как описано выше.

  -13 2 18  
  -4 -2 -1  
  7 -5 -11  

Превратите его в матрицу кофакторов , изменив знаки на соответствующих элементы на основе таблицы знаков.

  -13 -2 18  
  4 -2 1  
  7 5 -11  

Найдите сопряженный путем транспонирования матрицы кофакторов.

Чтобы транспонировать матрицу, нужно поменять местами строки и столбцы. то есть ряды стать столбцами и столбцы становятся строками. Транспонирование матрицы можно найти с помощью TI-82. или калькулятор ТИ-83, введя название матрицы и выбрав Матрица, Math, а затем вариант 2, буква T с надстрочным индексом, например [A] T .

  -13 4 7  
  -2 -2 5  
  18 1 -11  

Наконец, разделите сопряженное к матрице на определитель матрицы.В этой задаче определитель равен 17, поэтому мы разделим каждый элемент на 17. Результирующая матрица — это , обратная исходной матрицы.

  -13/17 17.04. 17/7  
  -2/17 -2/17 17/5  
  18/17 1/17 -11/17  

Обратная матрица находится путем деления сопряженной матрица на определитель матрицы. Не пытайтесь это сделать на своем калькулятор, так как калькулятор не позволит вам разделить матрицу на скаляр. Вместо этого вам придется умножать на обратный определитель.

Если вы проверите это на своем калькуляторе, вы можете убедиться, что обратное на самом деле является присоединенным, деленным на определитель.

Поскольку обратное — это сопряженное, деленное на определителя, мы можем понять, почему обратное не существует, если определитель равен нулю. Это приведет к делению на ноль, который не определен.

Определители больших заказов

Найдем определитель системы 4×4.

  С 1 С 2 С 3 С 4
Р 1 3 2 0 1
Р 2 4 0 1 2
Р 3 3 0 2 1
Р 4 9 2 3 1

Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей. В данном случае это второй столбец.

Для каждого элемента в исходной матрице его минор будет определителем 3×3. Нам придется расширить каждый из них на используя три определителя 2 × 2.

Вот почему мы хотим расширить второй столбец. Несовершеннолетние умножаются по их элементам, так что если элемент в исходной матрице равен 0, он не действительно имеет значение, что такое минор, и мы можем сэкономить много времени, не имея найти его. Во втором столбце вам не нужно будет находить двух несовершеннолетних потому что соответствующий им элемент во втором столбце равен нулю.

— 2 4 1 2 + 0       — 0       + 2 3 0 1
3 2 1   ?     ?   4 1 2
9 3 1             3 2 1

Мы могли бы заполнить эти средние два минора, но так как они умножаются на 0, на самом деле не имеет значения, что они собой представляют. На самом деле, вы могли бы так же легко пропустить их.

Теперь осталось найти два определителя 3×3.

В первом определителе 3×3, нулей нет, поэтому выберите строку или столбец с наибольшими числами. Это будет столбец 1, поэтому расширьте его по первому столбцу.

Уведомление 4 находится в положительном положении. Таблицы знаков начинаются с каждого новый определитель. Положение числа в исходной матрице не имеет значение только его положение в текущей матрице.

4 1 2                    
3 2 1 = + 4 2 1 — 3 1 2 + 9 1 2
9 3 1     3 1   3 1   2 1

= 4 (2 — 3) — 3 (1 — 6) + 9 (1 — 4) = 4 (-1) — 3 (-5) + 9 (-3) ) = -4 + 15 — 27 = -16

Рассмотрим другую матрицу 3×3. В этой строке стоит 0 1 и столбец 2. Любой из них был бы хорошим выбором для расширения, но поскольку в строке 1 числа немного больше, мы будем расширяться по первой строке.

3 0 1                    
4 1 2 = + 3 1 2 — 0 ? ? + 1 4 1
3 2 1     2 1   ? ?   3 2

= 3 (1 — 4) — 0 (не имеет значения) + 1 (8 — 3) = 3 (-3) + 1 (5) = -9 + 5 = -4

Когда пойдете искать определитель, помните, что там были элементы из исходная матрица 4 × 4, умноженная на каждый из этих определителей 3 × 3. Первый был -2, а второй +2.

Определитель = -2 (-16) + 2 (-4) = 32 — 8 = 24

Худший сценарий

Чтобы найти определитель 3×3 без нулей, нужно найти три определителя 2×2.

Чтобы найти определитель 4×4 без нулей, нужно найти четыре определителя 3×3, каждый из которых затем становится тремя определителями 2×2, всего получается двенадцать определителей 2×2.

Чтобы найти определитель 5×5 без нулей, нужно найти пять определителей 4×4, каждый из которых затем становится четырьмя определителями 3×3, каждый из которых становится тремя определителями 2×2 в сумме из шестидесяти определителей 2×2.

Использование калькулятора

После этой последней проблемы вы должны спросить себя, нет ли более легкого пути. Ну да, есть, если в определителе нет переменных. Вы можете воспользоваться калькулятором.

Обозначение, которое использует калькулятор TI-82 или TI-83, — это обозначение Det A. Итак, после входа в матрицу в одну из доступных матриц на калькуляторе, введите DET, выбрав Матрица, Математика и выбрав вариант 1. Затем введите имя матрицы, которую вы используете.

Вам не нужно использовать круглые скобки (если у вас нет TI-83), но вы можете, если вы хотите найти определитель произведения «det ([A]*[B])» или определитель транспонированного «det ([A] T )» как в отличие от транспонирования определителя «(det [A]) . Кстати, калькулятор не найдет транспонирование определителя, потому что в определитель является скаляром (действительным числом) и калькулятор знает только, как найти транспонирование матрицы. Транспонирование скаляр это что скаляр.

Треугольные матрицы

Вам очень понравится находить определители этих матриц.

Верхняя треугольная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо над ней. То есть все ненулевые значения находятся в верхнем треугольнике. Все, что ниже диагонали является нулем.
Нижняя треугольная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо ниже нее.
То есть все ненулевые значения находятся в нижнем треугольнике. Все, что выше диагонали равен нулю.
Диагональная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Все выключено главная диагональ равна нулю.

Определитель треугольной матрицы или диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Элементарные операции со строками

Можно было выполнить три элементарные операции со строками, которые вернули бы эквивалентная система.С определителями, поскольку определитель транспонирования совпадает с определителя матрицы, элементарные операции со строками можно применять и к столбцам.

Выполняя сокращение строк (используя поворот на 1, если хотите), вы можете поместить матрицу в треугольная форма. Как только он будет в треугольной форме, все, что вам нужно сделать, это умножить на элементы на главной диагонали и у вас есть определитель.

Рассмотрим каждую из трех элементарных операций над строками.

  1. Если поменять местами две строки или два столбца в определителе, результирующий определитель будет отличаются только знаком.То есть, если вы поменяете местами строки или столбцы, результирующий определитель будет напротив исходного определителя.
  2. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу, определитель умножается на эту та же ненулевая константа.
  3. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу и добавляете ее к другой строке или столбцу, заменив эту строку или столбец, определитель не изменится.

Эта последняя операция эквивалентна повороту на единицу!

Предупреждение: если ваша точка опоры — это число, отличное от единицы, то вы умножаете каждую строку, которую вы изменение поворотным элементом.Итак, если вы повернетесь на 3 и поменяете две строки, то в результате определитель будет в 3*3=9 раз больше исходного определителя.

Пока вы вращаетесь на одной из них, все будет в порядке.

Вам не нужно помещать матрицу в редуцированную строчно-эшелонную форму или даже в строчно-эшелонную форму. Вы можете остановить сокращение в любой момент и расширить его, используя миноры и кофакторы. Что я предложить является сводным, где есть один, а затем расширить.

Определители, равные нулю

Определитель матрицы будет равен нулю, если

  1. Вся строка равна нулю.
  2. Две строки или столбца равны.
  3. Строка или столбец постоянно кратны другой строке или столбцу.

Помните, что матрица обратима, неособа, тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. Итак, если определитель равен нулю, матрица вырожденная и не имеет обратной.

определителей (алгебра 2, матрицы) – Mathplanet

Определитель det(A) или |A| квадратной матрицы A — число, кодирующее определенные свойства матрицы.Детерминанты названы в честь размера матриц. В следующем примере мы покажем, как определить определители второго порядка.


Пример

$$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$$

Определитель A (определитель второго порядка) равен

$$det(A)=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$$

Определители матриц 3 × 3 называются определителями третьего порядка. Один из методов оценки определителей третьего порядка называется разложением по минорам.Минор элемента — это определитель, образованный при удалении строки и столбца, содержащего этот элемент.

$$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{ vmatrix}-b\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix}$$

Определители можно использовать для нахождения площади треугольника, если известны координаты вершин. Если вершины треугольников (a,b), (c,d) и (e,f), площадь равна

$$A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} a & b & 1\\ c & d & 1\\ e & f & 1 \end{vmatrix}$$

Если A  оказывается отрицательным, мы должны использовать абсолютное значение для A, чтобы иметь неотрицательное значение для нашей области.


Пример

Найдите площадь треугольника, вершины которого расположены в точках (-2,2), (1,3) и (3,0) (этот пример также показан в нашем видеоуроке).

Мы подставляем наши координаты вершин в нашу формулу площади

$$A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 1\\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

и продолжается

$$=\frac{1}{2}(-2\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 0 & 1 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 3 & 1 \end {vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 и 3\\ 3 & 0 \end{vmatrix})=\\ \\ =\frac{1}{2}(-2(3\cdot1-1\cdot 0 )-2(1\cdot 1-1\cdot 3)+1(1\cdot 0-3\cdot 3))=\\ \\ =\frac{1}{2}(-6+4-9) =\frac{-11}{2}=-5.5$$

Мы получили отрицательное значение для A, а площадь не может быть отрицательной, поэтому мы должны взять абсолютное значение для A:

$$\mid A\mid =\mid -5.5\mid =5.5\;$$

Значит, площадь треугольников равна 5,5 квадратных единиц.


Видеоурок

Найдите площадь из приведенного выше примера.

3.2: Свойства определителей — Mathematics LibreTexts

Свойства определителей I: Примеры

Есть много важных свойств определителей.Поскольку многие из этих свойств связаны с операциями со строками, которые обсуждались в главе 1, мы сейчас вспомним это определение.

Определение \(\PageIndex{1}\): операции со строками

Операции со строками состоят из следующих

  1. Переключить два ряда.
  2. Умножить строку на ненулевое число.
  3. Заменить строку числом, кратным другой строке, добавленной к самой себе.

Теперь рассмотрим влияние операций над строками на определитель матрицы.В следующих разделах мы увидим, что использование следующих свойств может сильно помочь в поиске определителей. В этом разделе теоремы будут использоваться в качестве мотивации для предоставления различных примеров полезности свойств.

Первая теорема объясняет влияние на определитель матрицы перестановки двух строк.

Теорема \(\PageIndex{1}\): переключение строк

Пусть \(A\) — матрица \(n\times n\), а \(B\) — матрица, полученная в результате перестановки двух строк \(A.\) Тогда \(\det \left( B\right) = — \det \left( A\right) .\)

Когда мы переставляем две строки матрицы, определитель умножается на \(-1\). Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{1}\): переключение двух строк

Пусть \(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\) и пусть \(B=\left[ \begin{array}{ rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{массив} \right]\). Зная, что \(\det \left( A \right) = -2\), найдите \(\det \left( B \right)\).

Раствор

По определению 3.1.1, \(\det \left(A\right) = 1 \times 4 — 3 \times 2 = -2\). Обратите внимание, что строки \(B\) являются строками \(A\), но перепутаны. По теореме \(\PageIndex{1}\), так как две строки \(A\) были переставлены местами, \(\det \left(B\right) = — \det \left(A\right) = — \left (-2\справа) = 2\). Вы можете убедиться в этом, используя Определение 3.1.1.

Следующая теорема демонстрирует влияние на определитель матрицы, когда мы умножаем строку на скаляр.

Теорема \(\PageIndex{2}\): умножение строки на скаляр

Пусть \(A\) — матрица \(n\times n\), а \(B\) — матрица, полученная в результате умножения некоторой строки \(A\) на скаляр \(k\).п \дет(А)\).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{2}\): умножение строки на 5

Пусть \(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] ,\ B=\left[ \begin{array}{rr} 5 & 10 \\ 3 & 4 \end{array} \right].\) Зная, что \(\det \left( A \right) = -2\), найдите \(\det \left( B \right)\) .

Раствор

По определению 3.1.1, \(\det \left( A\right) = -2.\) Мы также можем вычислить \(\det \left(B\right)\), используя определение 3.1.1, и мы видим, что \(\det \left(B\right) = -10\).

Теперь давайте вычислим \(\det \left(B\right)\), используя теорему \(\PageIndex{2}\), и посмотрим, получим ли мы тот же ответ. Обратите внимание, что первая строка \(B\) в \(5\) раз больше первой строки \(A\), а вторая строка \(B\) равна второй строке \(A\) . По теореме \(\PageIndex{2}\), \(\det \left( B \right) = 5 \times \det \left( A \right) = 5 \times -2 = -10.\)

Как видите, это соответствует нашему ответу выше.

Наконец, рассмотрим следующую теорему для последней операции со строками — прибавления числа, кратного одной строке, к другой строке.

Теорема \(\PageIndex{4}\): добавление кратного строки к другой строке

Пусть \(A\) будет матрицей \(n\times n\), а \(B\) будет матрицей, полученной в результате прибавления числа, кратного строке, к другой строке. Тогда \(\det \left( A\right) =\det \left( B \right)\).

Следовательно, когда мы прибавляем число, кратное строке, к другой строке, определитель матрицы не меняется. Обратите внимание, что если матрица \(A\) содержит строку, кратную другой строке, \(\det \left(A\right)\) будет равно \(0\).Чтобы убедиться в этом, предположим, что первая строка \(A\) равна \(-1\), умноженной на вторую строку. По теореме \(\PageIndex{4}\) мы можем добавить первую строку ко второй строке, и определитель не изменится. Однако эта операция строки приведет к строке нулей. Используя разложение Лапласа по ряду нулей, мы находим, что определитель равен \(0\).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{3}\): добавление строки в другую строку

Пусть \(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\) и пусть \(B=\left[ \begin{array}{ rr} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{массив} \right] .\) Найдите \(\det \left(B\right)\).

Раствор

По определению 3.1.1 \(\det \left(A\right) = -2\). Обратите внимание, что вторая строка \(B\) в два раза больше первой строки \(A\), добавленной ко второй строке. По теореме \(\PageIndex{1}\), \(\det \left( B\right) = \det \left( A \right) = -2\). Как обычно, вы можете проверить этот ответ, используя Определение 3.1.1.

Пример \(\PageIndex{4}\): Несколько строк

Пусть \(A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right]\). Покажите, что \(\det \left( A \right) = 0\).

Раствор

Используя определение 3.1.1, определитель определяется как \[\det \left( A \right) = 1 \times 4 — 2 \times 2 = 0\nonumber \]

Однако обратите внимание, что вторая строка равна \(2\), умноженной на первую строку. Тогда по приведенному выше обсуждению в соответствии с теоремой \(\PageIndex{4}\) определитель будет равен \(0\).

До сих пор основное внимание уделялось операциям со строками. Однако мы можем выполнять те же операции со столбцами, а не со строками.Три операции, описанные в определении \(\PageIndex{1}\), можно выполнять со столбцами, а не со строками. В этом случае в теоремах \(\PageIndex{1}\), \(\PageIndex{2}\) и \(\PageIndex{4}\) слово «строка» можно заменить словом «столбец». «.

Есть несколько других важных свойств определителей, которые не включают операции со строками (или столбцами). Первым является определитель произведения матриц.

Теорема \(\PageIndex{5}\): определитель произведения

Пусть \(A\) и \(B\) две матрицы \(n\times n\). Тогда \[\det \left( AB\right) =\det \left( A\right) \det \left( B\right)\nonumber \]

Чтобы найти определитель произведения матриц, мы можем просто взять произведение определителей.

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{5}\): определитель продукта

Сравните \(\det \left( AB\right)\) и \(\det \left( A\right) \det \left( B\right)\) для \[A=\left[ \begin{array }{rr} 1 и 2 \\ -3 и 2 \end{array} \right], B=\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array} \right ]\номер\]

Раствор

Первое вычисление \(AB\), которое задается \[AB=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin {array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 11 & 4 \\ -1 & -4 \end{array} \ right]\nonumber \] и, следовательно, по определению 3.1.1 \[\det \left( AB\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 11 & 4 \\ -1 & -4 \end{array} \right] = -40\nonnumber \ ]

Теперь \[\det \left( A\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right] = 8\nonumber \] и \[\det \left( B\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array} \right] = -5\nonumber \]

Вычисляя \(\det \left(A\right) \times \det \left(B\right)\) получаем \(8 \times -5 = -40\). Это тот же ответ, что и выше, и вы можете видеть, что \(\det \left( A\right) \det \left( B\right) =8\times \left(-5\right) =-40 = \det \влево(АВ\вправо)\).{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\номер\]

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{7}\): Определитель обратимой матрицы

Пусть \(A = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{массив} \right]\). Для каждой матрицы определите, является ли она обратимой. Если да, то найти определитель обратного.

Раствор

Сначала рассмотрим матрицу \(A\).n a_{1,i} \mathrm{cof}(A)_{1,i}.\] Если \(n=1\), то \(\det A=a_{1,1}\).

Следующий пример является простым и настоятельно рекомендуется в качестве средства для привыкания к определениям.

Пример \(\PageIndex{8}\):

(1) Пусть \(E_{ij}\) — элементарная матрица, полученная перестановкой \(i\)-й и \(j\)-й строк матрицы \(I\). Тогда \(\det E_{ij}=-1\).

(2) Пусть \(E_{ik}\) — элементарная матрица, полученная умножением \(i\)-й строки \(I\) на \(k\).Т\).

Многие доказательства в этом разделе используют принцип математической индукции. Эта концепция обсуждается в Приложении A.2 и для удобства рассмотрена здесь. Сначала проверим, что утверждение верно для \(n=2\) (случай \(n=1\) либо совсем тривиален, либо бессмыслен).

Далее предположим, что утверждение верно для \(n-1\) (где \(n\geq 3\)) и докажем его для \(n\). Как только это будет выполнено, по принципу математической индукции мы можем заключить, что утверждение верно для всех матриц \(n\times n\) для каждого \(n\geq 2\).

Если \(A\) является матрицей \(n\times n\) и \(1\leq j \leq n\), то матрица, полученная удалением \(1\)-го столбца и \(j\) -я строка из \(A\) является матрицей \(n-1\times n-1\) (ниже мы будем обозначать эту матрицу через \(A(j)\)). Поскольку эти матрицы используются при вычислении кофакторов \(\mathrm{cof}(A)_{1,i}\), для \(1\leq i\neq n\), к этим матрицам применимо предположение индукции.

Рассмотрим следующую лемму.

Лемма \(\PageIndex{1}\):

Если \(A\) является \(n\times n\) матрицей, одна из строк которой состоит из нулей, то \(\det A=0\).

Доказательство

Мы докажем эту лемму с помощью математической индукции.

Если \(n=2\) это просто (проверьте!).

Пусть \(n\geq 3\) таково, что каждая матрица размера \(n-1\times n-1\) со строкой, состоящей из нулей, имеет определитель, равный нулю. Пусть \(i\) таково, что \(i\)-я строка \(A\) состоит из нулей. Тогда мы имеем \(a_{ij}=0\) для \(1\leq j\leq n\).

Исправьте \(j\in \{1,2, \dots ,n\}\) так, чтобы \(j\neq i\).n a_{1,j} \mathrm{cof}(A)_{1,j}=0\nonumber \], так как каждое из слагаемых равно 0,

Лемма \(\PageIndex{2}\):

Предположим, что \(A\), \(B\) и \(C\) являются \(n\times n\) матрицами, которые для некоторого \(1\leq i\leq n\) удовлетворяют следующему.

  1. \(j\)-е строки всех трех матриц одинаковы, для \(j\neq i\).
  2. Каждая запись в \(j\)-й строке \(A\) является суммой соответствующих записей в \(j\)-х строках \(B\) и \(C\).

Затем \(\det A=\det B+\det C\).

Доказательство

Проверить на \(n=2\) несложно (проверьте!).

Теперь предположим, что утверждение леммы верно для \(n-1\times n-1\) матриц, и зафиксируем \(A,B\) и \(C\), как в утверждении. Предположения утверждают, что мы имеем \(a_{l,j}=b_{l,j}=c_{l,j}\) для \(j\neq i\) и для \(1\leq l\leq n \) и \(a_{l,i}=b_{l,i}+c_{l,i}\) для всех \(1\leq l\leq n\). Поэтому \(A(i)=B(i)=C(i)\), а \(A(j)\) обладает тем свойством, что его \(i\)-я строка является суммой \(i\) строки \(B(j)\) и \(C(j)\) для \(j\neq i\), а остальные строки всех трех матриц идентичны.n a_{1,l} \mathrm{cof}(A)_{1,l}\\ &=\sum_{l\neq i} a_{1,l}(\mathrm{cof}(B)_{ 1,l}+\mathrm{cof}(C)_{1,l})+ (b_{1,i}+c_{1,i})\mathrm{cof}(A)_{1,i} \\ &= \det B+\det C\end{aligned}\] Это доказывает, что утверждение верно для всех \(n\), и завершает доказательство.

Теорема \(\PageIndex{8}\):

Пусть \(A\) и \(B\) — матрицы \(n\times n\).

  1. Если \(A\) получается путем перестановки \(i\)-й и \(j\)-й строк \(B\) (с \(i\neq j\)), то \(\det A =-\det B\).
  2. Если \(A\) получается умножением \(i\)-й строки \(B\) на \(k\), то \(\det A=k\det B\).
  3. Если две строки \(A\) идентичны, то \(\det A=0\).
  4. Если \(A\) получается умножением \(i\)-й строки \(B\) на \(k\) и добавлением его к \(j\)-й строке \(B\) (\( i\neq j\)) затем \(\det A=\det B\).
Доказательство

Докажем все утверждения по индукции. Случай \(n=2\) легко проверить напрямую (и настоятельно рекомендуется проверить его).

Мы предполагаем, что \(n\geq 3\) и (1)–(4) верны для всех матриц размера \(n-1\times n-1\).

(1) Докажем случай, когда \(j=i+1\), т. е. мы меняем местами две последовательные строки.

Пусть \(l\in \{1, \dots, n\}\setminus \{i,j\}\). Тогда \(A(l)\) получается из \(B(l)\) перестановкой двух его строк (рисунок) и по нашему предположению \[\label{E2} \mathrm{cof}(A) _{1,l}=-\mathrm{cof}(B)_{1,l}.\]

Теперь рассмотрим \(a_{1,i} \mathrm{cof}(A)_{1,l}\).n b_{1l} B_{1l} =\det B.\nonumber \]

Итак, мы доказали случай (1), когда \(j=i+1\). Для доказательства общего случая понадобится следующий факт. Если \(i

(2) Это как (1)… но гораздо проще. Предположим, что (2) верно для всех \(n-1\times n-1\) матриц. У нас есть это \(a_{ji}=k b_{ji}\) для \(1\leq j\leq n\). В частности \(a_{1i}=kb_{1i}\), а при \(l\neq i\) матрица \(A(l)\) получается из \(B(l)\) умножением одного из его строки на \(k\). Поэтому \(\mathrm{cof}(A)_{1l}=k\mathrm{cof}(B)_{1l}\) для \(l\neq i\), и для всех \(l\) мы имеют \(a_{1l} \mathrm{cof}(A)_{1l}=k b_{1l}\mathrm{cof}(B)_{1l}\).По \(\eqref{E1}\) имеем \(\det A=k\det B\).

(3) Это следствие (1). Если две строки \(A\) идентичны, то \(A\) равна матрице, полученной путем перестановки этих двух строк и, следовательно, согласно (1) \(\det A=-\det A\). Отсюда следует \(\det A=0\).

(4) Предположим, что (4) верно для всех \(n-1\times n-1\) матриц, и зафиксируем \(A\) и \(B\) так, что \(A\) получается умножением \ (i\)-я строка \(B\) на \(k\) и добавление ее к \(j\)-й строке \(B\) (\(i\neq j\)) затем \(\det А=\дет В\).Если \(k=0\), то \(A=B\) и доказывать нечего, поэтому можно считать \(k\neq 0\).

Пусть \(C\) — матрица, полученная заменой \(j\)-й строки \(B\) на \(i\)-ю строку \(B\), умноженной на \(k\). По лемме \(\PageIndex{2}\) мы имеем, что \[\det A=\det B+\det C\nonumber \], и нам «всего лишь» нужно показать, что \(\det C=0\). Но \(i\)-я и \(j\)-я строки \(C\) пропорциональны. Если \(D\) получается умножением \(j\)-й строки \(C\) на \(\frac 1k\), то по (2) имеем \(\det C=\frac 1k\det D\) (напомним, что \(k\neq 0\)!).Но \(i\)-я и \(j\)-я строки \(D\) идентичны, поэтому по (3) мы имеем \(\det D=0\) и, следовательно, \(\det C=0\ ).

Теорема \(\PageIndex{9}\):

Пусть \(A\) и \(B\) две матрицы \(n\times n\). Тогда \[\det \left( AB\right) =\det \left( A\right) \det \left( B\right)\nonumber \]

Доказательство

Если \(A\) является элементарной матрицей любого типа, то умножение на \(A\) слева имеет тот же эффект, что и выполнение соответствующей операции с элементарной строкой.Поэтому равенство \(\det (AB) =\det A\det B\) в этом случае следует из примера \(\PageIndex{8}\) и теоремы \(\PageIndex{8}\).

Если \(C\) является редуцированной ступенчатой ​​формой \(A\), то мы можем написать \(A=E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m\cdot C\) для некоторых элементарных матриц \( E_1,\точки, E_m\).

Теперь рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что \(C=I\). Затем \(A=E_1\cdot E_2\cdot \dots\cdot E_m\) и \(AB= E_1\cdot E_2\cdot \dots\cdot E_m B\). Применяя приведенное выше равенство \(m\) раз, а затем \(m-1\) раз, мы получаем, что \[\begin{aligned} \det AB&=\det E_1\det E_2\cdot \det E_m\cdot \det B\\ &=\det (E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m) \det B\\ &=\det A\det B.\конец{выровнено}\]

Теперь предположим \(C\neq I\). Поскольку он находится в редуцированной строчно-эшелонной форме, его последняя строка состоит из нулей, а по (4) примера \(\PageIndex{8}\) последняя строка \(CB\) состоит из нулей. По лемме \(\PageIndex{1}\) имеем \(\det C=\det (CB)=0\) и, следовательно, \[\det A=\det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot \ det (C) = \det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot 0=0\nonumber \], а также \[\det AB=\det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot \det (CB ) =\det (E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m) 0 =0\nonnumber \] следовательно \(\det AB=0=\det A \det B\).Т\).

Приведенные выше рассуждения позволяют нам теперь доказать теорему 3.1.1. Это переформулировано ниже.

Теорема \(\PageIndex{11}\):

Разложение матрицы \(n\times n\) по любой строке или столбцу всегда дает один и тот же результат, который является определителем.

Доказательство

Сначала покажем, что определитель можно вычислить по любой строке. Случай \(n=1\) неприменим, поэтому пусть \(n \geq 2\).

Пусть \(A\) будет \(n\times n\) матрицей и зафиксируем \(j>1\).T\), что равно разложению сомножителя по столбцу \(1\) матрицы \(A\). Таким образом, доказательство завершено.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.